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二叉树、平衡二叉树、红黑树

树是具有“一对多”关系的、非线性存储结构的数据元素的集合。树的最坏时间复杂度是O(n).

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二叉树

二叉树是具有特殊性质的树,满足下面两个条件的树就是二叉树:

  1. 本身是有序
  2. 树中包含的所有节点的度不能超过2(度是节点包含子树的数量)

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二叉树的特殊性质:

  1. 二叉树的第i层最多有2i12^{i-1}个节点
  2. 深度为K的二叉树,最多有2K2^K-1个节点
  3. 二叉树中,终端结点数(叶子结点数)为n0n_0,度为2的结点数为n2n_2,则n0n_0=n2n_2+1。计算方法:

对于一个二叉树来说,除了度为 0 的叶子结点和度为 2 的结点,剩下的就是度为 1 的结点(设为 n1),那么总结点 n=n0+n1+n2。同时,对于每一个结点来说都是由其父结点分支表示的,假设树中分枝数为 B,那么总结点数 n=B+1。而分枝数是可以通过 n1 和 n2 表示的,即 B=n1+2n2。所以,n 用另外一种方式表示为 n=n1+2n2+1。两种方式得到的 n 值组成一个方程组,就可以得出 n0=n2+1。

二叉树还可以分成满二叉树、完全二叉树

满二叉树:每个非叶子节点的为2的二叉树

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完全二叉树除去最后一层的节点为满二叉树,且最后一层的节点依次从左到右排列的二叉树

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平衡二叉树(AVL树)

平衡二叉树 是任何两个子树的高度差不超过1(平衡因子)的二叉树(可以是空树)。

平衡二叉树为了保持“完全平衡”,当由于增删数据发生不平衡时,会通过旋转达到平衡的目的。旋转方式:

  • 左旋

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  • 右旋

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红黑树(RBT)

红黑树是一种含有红黑节点,并能自平衡的二叉查找树。红黑树必须具有以下特性:

  1. 所有节点必须是红色或黑色
  2. 根节点是黑色
  3. 所有叶子节点(NIL)都是黑色
  4. 每个红色节点的两个子节点一定都是黑色
  5. 每个节点到叶子节点的路径上,都包含相同数量的黑色节点
  6. 如果一个节点为黑色,那么这个节点一定有两个子节点

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红黑树是一种完全平衡的二叉查找树,如图,根节点的左子树明显比右子树高,但是左子树和右子树的黑色节点的层数是相等的,即属性5。每次添加、删除节点,红黑树会通过旋转变色来保持自平衡,且旋转次数最多为3,复杂度是O(lgn)。

红黑树查找

  1. 从根节点开始查找,把根节点设置为当前节点
  2. 若当前节点为null,返回null
  3. 若当前节点不为null,用当前节点的Key和查找key对比
  4. 若当前节点的key等于查找key,返回当前节点
  5. 若当前节点的key大于查找key,设置当前节点的左子节点为当前节点,重复步骤2
  6. 若当前节点的key小于查找key,设置当前节点的右子节点为当前节点,重复步骤2

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