Hi 👋
我的个人项目 | 扫雷Elic 无尽天梯 | 梦见账本 |
---|---|---|
类型 | 游戏 | 财务 |
AppStore | Elic | Umemi |
一、 题目
给你一根长度为 n 的绳子,请把绳子剪成整数长度的 m 段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1] 。请问 k[0]k[1]...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。
答案需要取模 1e9+7(1000000007),如计算初始结果为:1000000008,请返回 1。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示:
2 <= n <= 1000
注意:本题与主站 343 题相同
来源:力扣(LeetCode)
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权,非商业转载请注明出处。
二、 常规思路与问题
咋一看,和【剑指Offer-Swift】14-I.剪绳子(经典动态规划&贪心算法)没什么区别嘛~ 不就是结果要取模嘛~
2.1 一般思路
我们用动态规划的解法来试试:
func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
if n < 4 {
return n - 1
}
var dp = [Int](repeating: 1, count: n + 1)
for i in 3...n {
for j in 2..<i {
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
}
}
return dp[n] % 1_000_000_007
}
试试两个测试用例:
10 - 36
2 - 1
很正常没问题嘛~🤷♂️
2.2 来!试试120
120时居然出错了?我需要120...
2.3 数据长度问题
请注意本题的数据范围 2 <= n <= 1000
和第一题的 2 <= n <= 58
,差别很大。
上面报错就是因为数据超出了范围了。
那你可能会想到,那我换
Int64
?我换long
?
然鹅并不行
那我每次存数据都取一下模?
更不行,中间数据都变了,结果当然更错
我们用 Decimal
来接收看看120
时到底是多大:
120
时就已经 20位
了,更何况本题的范围最大1000
。
2.4 Decimal
解法
这里将元素使用 Decimal
进行承载
let base = NSDecimalNumber(decimal: Decimal(1_000_000_007))
func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
if n < 4 {
return n - 1
}
var dp = [Decimal](repeating: 1, count: n + 1)
for i in 3...n {
for j in 2..<i {
dp[i] = max(dp[i], max(Decimal(j) * Decimal(i - j), Decimal(j) * dp[i - j]))
}
}
let handler = NSDecimalNumberHandler(roundingMode: .down, scale: 0, raiseOnExactness: false, raiseOnOverflow: false, raiseOnUnderflow: false, raiseOnDivideByZero: false)
let result = NSDecimalNumber(decimal: dp[n])
let baseCount = result.dividing(by: base).rounding(accordingToBehavior: handler)
let tp = result.subtracting(base.multiplying(by: baseCount))
return Int(truncating: tp)
}
结果到 255 的时候还是错了,还是丢失了精度。毕竟
NSDecimalNumber
也是有范围的
感觉想继续用动态规划不太现实了
2.5 补充: Java 的 BigInteger 可以动态规划
import java.math.BigInteger;
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
BigInteger[] dp = new BigInteger[n + 1];
Arrays.fill(dp, BigInteger.valueOf(1));
// dp[1] = BigInteger.valueOf(1);
for(int i = 3; i < n + 1; i++){
for(int j = 1; j < i; j++){
dp[i] = dp[i].max(BigInteger.valueOf(j * (i - j))).max(dp[i - j].multiply(BigInteger.valueOf(j)));
}
}
return dp[n].mod(BigInteger.valueOf(1000000007)).intValue();
}
}
链接:作者:ollieq
这里就不再纠结数据类型了,有些语言特性是能够轻松的完成大数取模。虽然效率低看题解里各种 5%
三、 贪心-循环求余
尽可能多的切成长度为3的,乘积最大。(【剑指Offer-Swift】14-I.剪绳子(经典动态规划&贪心算法))
3.1 解法
func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
if n < 4 {
return n - 1
}
var res = 1
var n = n
while n > 4 {
res = res * 3 % 1_000_000_007
n -= 3
}
return res * n % 1_000_000_007
}
时间复杂度 | 空间复杂度 |
---|---|
O(n) | O(1) |
真快
3.2 循环求余
详细可以移步这个题解
四、贪心-快速幂
核心是通过 快速幂
算法及模运算规律,控制数据范围。详细了解可以移步【Lawliet的算法小本本】快速幂与取模
4.1 解法
func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
if n < 4 {
return n - 1
}
let a = n / 3, b = n % 3
if b == 0 {
return modPow(3, a) % 1_000_000_007
}
else if b == 1 {
return modPow(3, a - 1) * 4 % 1_000_000_007
}
else {
return modPow(3, a) * 2 % 1_000_000_007
}
}
func modPow(_ x: Int, _ n: Int) -> Int {
var res = 1
var x = x
var n = n
while n > 0 {
if n & 1 == 1 {
res *= x
res %= 1_000_000_007 // 限制了数据范围
}
x *= x
x %= 1_000_000_007 // 限制了数据范围
n >>= 1
}
return res
}