前情提要

我有时候会忘记等比数列的前n项之和，如何从头推导呢？其实很简单。

推导过程

推导的基础就是下面这个公式

(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

我们有

(1+x)(1-x) = 1 - x^2 \tag{1}

现在将 $1+x$ 替换为 $1+x+x^2$ 我们有

(1+x+x^2)(1-x) \\= (1+x+x^2) - (1+x+x^2)*x \\ =(1+x+x^2) - (x+x^2+x^3) \\ = 1 - x^3

即

(1+x+x^2)(1-x) = 1 - x^3 \tag{2}

然后将 $1+x$ 替换为 $1+x+x^2+x^3$ ，我们有

(1+x+x^2+x^3)(1-x) = 1 - x^4 \tag{3}

同理可得，以此类推，我们有

(1+x+x^2+x^3+...+x^n)(1-x) = 1 - x^{n+1} \tag{4}

其实到这里，我们已经把等比数列求和公式推导出来了。稍微对公式（4）进行一步移项处理，我们有

(1+x+x^2+x^3+...+x^n) = \cfrac{1 - x^{n+1}}{(1-x)} \tag{5}

公式（5）即为等比数列的前n项之和。其中 $x!=1$ ,如果 $x=1$ 那么该数列就是公差为0的等差数列了啊。

如果等比数列的公比小于，此时扩展到无穷级数，那么它们的和是多少呢？将上面那句话翻译成数学语言，即为下面的求极限

lim_{n->+\infty}^{\cfrac{1 - x^{n+1}}{(1-x)}}

上面的极限很简单，因为 $x<1$ ，所以 $x^{n+1}$ 在 $n$ 趋于无穷的时候，该项趋于0. 所以最终的结果就是

lim_{n->+\infty}^{\cfrac{1 - x^{n+1}}{(1-x)}} = \cfrac{1}{1-x}

关于极限一个的现象就是：趋于无穷时，万物变得更简单，一目了然，结果清晰。