【动态规划/背包问题】多维背包问题

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前言

今天是我们讲解「动态规划专题」中的「背包问题」的第十四篇。

今天将学习「多维背包」，并完成一道相关练习题。

另外，我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。

背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解（每隔几天更新一篇，确保大家消化）。

你可以先尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~

题目描述

这是 LeetCode 上的**「474. 一和零」**，难度为 Medium。

给你一个二进制字符串数组 和两个整数 和 。

请你找出并返回 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 个 和 个 。

如果 的所有元素也是 的元素，集合 是集合 的子集 。

示例 1：

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3

输出：4

解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。

其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1

输出：2

解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

提示：

• 1 <= strs.length <= 600

• 1 <= strs[i].length <= 100

• strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成

• 1 <= m, n <= 100

基本分析

通常与「背包问题」相关的题考察的是将原问题转换为「背包问题」的能力。

要将原问题转换为「背包问题」，往往需要从题目中抽象出「价值」与「成本」的概念。

这道题如果抽象成「背包问题」的话，应该是：

每个字符串的价值都是 （对答案的贡献都是 ），选择的成本是该字符串中 的数量和 的数量。

问我们在 的数量不超过 ，0 的数量不超过 的条件下，最大价值是多少。

由于每个字符串只能被选一次，且每个字符串的选与否对应了「价值」和「成本」，求解的问题也是「最大价值」是多少。

（多维）01 背包

有了基本分析，我们可以直接套用 01 背包的「状态定义」来做：

代表考虑前 件物品，在数字 容量不超过 ，数字 容量不超过 的条件下的「最大价值」（每个字符串的价值均为 ）。

有了「状态定义」之后，「转移方程」也很好推导：

其中 数组记录的是字符串中出现的 数量。

代码（为了方便理解， 将第一件物品的处理单独抽了出来，也可以不抽出来，只需要将让物品下标从 开始即可，见 ）：

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        // 预处理每一个字符包含 0 和 1 的数量
        int[][] cnt = new int[len][2];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            String str = strs[i];
            int zero = 0, one = 0;
            for (char c : str.toCharArray()) {
                if (c == '0') {
                    zero++;
                } else {
                    one++;
                }
            }
            cnt[i] = new int[]{zero, one}; 
        }

        // 处理只考虑第一件物品的情况
        int[][][] f = new int[len][m + 1][n + 1];
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
                f[0][i][j] = (i >= cnt[0][0] && j >= cnt[0][1]) ? 1 : 0;
            }
        }

        // 处理考虑其余物品的情况
        for (int k = 1; k < len; k++) {
            int zero = cnt[k][0], one = cnt[k][1];
            for (int i = 0; i <= m; i++) {
                for (int j = 0; j <= n; j++) {
                    // 不选择第 k 件物品
                    int a = f[k-1][i][j];
                    // 选择第 k 件物品（前提是有足够的 m 和 n 额度可使用）
                    int b = (i >= zero && j >= one) ? f[k-1][i-zero][j-one] + 1 : 0;
                    f[k][i][j] = Math.max(a, b);
                }
            }
        }
        return f[len-1][m][n];
    }
}

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        int[][] cnt = new int[len][2];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            String str = strs[i];
            int zero = 0, one = 0;
            for (char c : str.toCharArray()) {
                if (c == '0') zero++;    
                else one++;

            }
            cnt[i] = new int[]{zero, one}; 
        }
        int[][][] f = new int[len + 1][m + 1][n + 1];
        for (int k = 1; k <= len; k++) {
            int zero = cnt[k - 1][0], one = cnt[k - 1][1];
            for (int i = 0; i <= m; i++) {
                for (int j = 0; j <= n; j++) {
                    int a = f[k - 1][i][j];
                    int b = (i >= zero && j >= one) ? f[k - 1][i - zero][j - one] + 1 : 0;
                    f[k][i][j] = Math.max(a, b);
                }
            }
        }
        return f[len][m][n];
    }
}

• 时间复杂度：预处理字符串的复杂度为 $O(\sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))$，处理状态转移的 $O(k * m * n)$。整体复杂度为：$O(k * m * n + \sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))$
• 空间复杂度：$O(k * m * n)$

滚动数组

根据「状态转移」可知，更新某个物品的状态时，只依赖于上一个物品的状态。

因此，可以使用「滚动数组」的方式进行空间优化。

代码（为了方便理解， 将第一件物品的处理单独抽了出来，也可以不抽出来，只需要将让物品下标从 开始即可，见 ）：

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        // 预处理每一个字符包含 0 和 1 的数量
        int[][] cnt = new int[len][2];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            String str = strs[i];
            int zero = 0, one = 0;
            for (char c : str.toCharArray()) {
                if (c == '0') {
                    zero++;
                } else {
                    one++;
                }
            }
            cnt[i] = new int[]{zero, one}; 
        }

        // 处理只考虑第一件物品的情况
        // 「物品维度」修改为 2 
        int[][][] f = new int[2][m + 1][n + 1];
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
                f[0][i][j] = (i >= cnt[0][0] && j >= cnt[0][1]) ? 1 : 0;
            }
        }

        // 处理考虑其余物品的情况
        for (int k = 1; k < len; k++) {
            int zero = cnt[k][0], one = cnt[k][1];
            for (int i = 0; i <= m; i++) {
                for (int j = 0; j <= n; j++) {
                    // 不选择第 k 件物品
                    // 将 k-1 修改为 (k-1)&1
                    int a = f[(k-1)&1][i][j];
                    // 选择第 k 件物品（前提是有足够的 m 和 n 额度可使用）
                    // 将 k-1 修改为 (k-1)&1
                    int b = (i >= zero && j >= one) ? f[(k-1)&1][i-zero][j-one] + 1 : 0;
                    f[k&1][i][j] = Math.max(a, b);
                }
            }
        }
        // 将 len-1 修改为 (len-1)&1
        return f[(len-1)&1][m][n];
    }
}

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        int[][] cnt = new int[len][2];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            String str = strs[i];
            int zero = 0, one = 0;
            for (char c : str.toCharArray()) {
                if (c == '0') zero++;
                else one++; 
            }
            cnt[i] = new int[]{zero, one}; 
        }
        int[][][] f = new int[2][m + 1][n + 1];
        for (int k = 1; k <= len; k++) {
            int zero = cnt[k - 1][0], one = cnt[k - 1][1];
            for (int i = 0; i <= m; i++) {
                for (int j = 0; j <= n; j++) {
                    int a = f[(k-1) & 1][i][j];
                    int b = (i >= zero && j >= one) ? f[(k-1) & 1][i-zero][j-one] + 1 : 0;
                    f[k&1][i][j] = Math.max(a, b);
                }
            }
        }
        return f[len&1][m][n];
    }
}

• 时间复杂度：预处理字符串的复杂度为 $O(\sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))$，处理状态转移的 $O(k * m * n)$。整体复杂度为：$O(k * m * n + \sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))$
• 空间复杂度：$O(k * m * n)$

一维空间优化

事实上，我们还能继续进行空间优化。

再次观察我们的「状态转移方程」发现： 不仅仅依赖于上一行，还明确依赖于比 小和比 小的状态。

即可只依赖于「上一行」中「正上方」的格子，和「正上方左边」的格子。

对应到「朴素的 01 背包问题」依赖关系如图：

因此可直接参考「01 背包的空间优化」方式：取消掉「物品维度」，然后调整容量的遍历顺序。

代码：

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        int[][] cnt = new int[len][2];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            int zero = 0, one = 0;
            for (char c : strs[i].toCharArray()) {
                if (c == '0') zero++;
                else one++;
            }
            cnt[i] = new int[]{zero, one};
        }
        int[][] f = new int[m + 1][n + 1];
        for (int k = 0; k < len; k++) {
            int zero = cnt[k][0], one = cnt[k][1];
            for (int i = m; i >= zero; i--) {
                for (int j = n; j >= one; j--) {
                    f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i-zero][j-one] + 1);
                }
            }
        }
        return f[m][n];
    }
}

• 时间复杂度：预处理字符串的复杂度为 $O(\sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))$，处理状态转移的 $O(k * m * n)$。整体复杂度为：$O(k * m * n + \sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))$
• 空间复杂度：$O(m * n)$

总结

今天我们学习了「多维背包」问题，不难发现「多维背包」和「朴素传统背包」问题并无本质区别。

我们仍然采取「遍历物品 - 遍历容量（多维）- 遍历决策」的基本思路。

因此所谓的「多维背包」问题其实只是「传统背包」问题的拓展。

难点还是在于对「成本」和「价值」的抽象。

在明确了「成本」和「价值」之后，根据每件物品可选“一件”还是“多件”套用对应的「01 背包」或「完全背包」状态定义进行微调即可。

背包问题（目录）

1. 01背包 : 背包问题 第一讲

• 【练习】01背包 : 背包问题 第二讲

2. 【学习&练习】01背包 : 背包问题 第三讲

3. 完全背包 : 背包问题 第四讲

• 【练习】完全背包 : 背包问题 第五讲

• 【练习】完全背包 : 背包问题 第六讲

• 【练习】完全背包 : 背包问题 第七讲

4. 多重背包 : 背包问题 第八讲

5. 多重背包（优化篇）

• 【上】多重背包（优化篇）: 背包问题 第九讲

• 【下】多重背包（优化篇）: 背包问题 第十讲

6. 混合背包 : 背包问题 第十一讲

7. 分组背包 : 背包问题 第十二讲

• 【练习】分组背包 : 背包问题 第十三讲

8. 多维背包 : 背包问题 第十四讲

• 【练习】多维背包

9. 树形背包

• 【练习篇】树形背包

10. 背包求方案数

• 【练习】背包求方案数

11. 背包求具体方案

• 【练习】背包求具体方案

12. 泛化背包

• 【练习】泛化背包

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.474 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。