堆排序算法图解

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1 演进

结点和边,构成一个p-1-1.jpg 不含环的连通图,便成了一棵。每个结点拥有的子结点数称为结点的p-1-2.jpg 多棵树便构成了一个森林p-1-3.jpg 结点的度最大为2的树便是二叉树;最大度为N的是N叉树,或多叉树p-1-4.jpg 除叶子结点,每个结点的度都为2,称为满二叉树
除去最后一层之后的子树为满二叉树,且最后一层结点依次从左到右分布,则称为完全二叉树p-1-5.jpg 如果在完全二叉树上再加一个限制条件:如结点都大于等于其子结点,或者小于等于其子结点,则称为
每个结点都大于等于其子结点,称为大根堆
每个结点都小于等于其子结点,称为小根堆p-1-6.jpg

2 堆存储

2.1 顺序存储:数组

用数组存储,将一个线性数组映射成一棵完全二叉树,父结点为i,则左儿子为2i+1,右儿子为2i+2。 p-2-1.jpg 代码如下

int heap[10];

2.2 链式存储:链表

定义一个结点的结构体,两个指针分别指向左儿子和右儿子。 p-2-2.jpg 代码如下

struct Node {
    int value;
    Node *lson, *rson;
};
Node *heap;

说明:以下思想都以大根堆举例。

3 堆调整

3.1 向上调整

子结点与父结点的下标关系如下: p-3-1-1.jpg 用一个指针指向待调整的结点:

  • 先比较是否大于父结点,如果大于就进行交换,并将指针上移到父结点

直到指向根结点或者当前结点小于等于父结点。 p-3-1-2.jpg 代码实现

//将heap[k]向上调整
int heapUp(int *heap, int k) {
    int parent, son, x;
    x = heap[k];
    son = k;
    parent = (son - 1) / 2;
    while (son > 0) {
        //如果父结点大于等于heap[k]则退出,否则将父结点下移
        if (heap[parent] >= x)
            break;
        heap[son] = heap[parent];
        son = parent;
        parent = (son - 1) / 2;
    }
    heap[son] = x;
    return 0;
}

3.2 向下调整

父结点与子结点的下标关系如下: p-3-2-1.jpg 用一个指针指向待调整的结点:

  • 先比较两个子结点哪个更大,取出更大的子结点
  • 再比较更大的子结点是否大于父结点,如果大于就进行交换,并将指针下移

直到指向叶子结点或者当前结点大于两个子结点。 p-3-2-2.jpg 代码实现

//将heap[k]向下调整
int heapDown(int *heap, int k, int n) {
    int parent, son, x;
    x = heap[k];
    parent = k;
    son = 2 * k + 1;    //左孩子结点
    while (son <= n) {
        //比较左右儿子,选择较大的一个
        if (son + 1 <= n && heap[son + 1] > heap[son])
            son++;    //使son指向左右孩子中较大的结点。
        //如果儿子结点中较大的都小于等于待调整结点则退出,否则将子结点上移
        if (heap[son] <= x)
            break;
        heap[parent] = heap[son];
        parent = son;
        son = 2 * parent + 1;
    }
    heap[parent] = x;
    return 0;
}

4 增减元素

4.1 push

从堆尾插入元素,再对该元素进行向上调整直到满足堆性质。 p-4-1.jpg

4.2 pop

将堆顶弹出,用堆尾的元素置换,再对堆顶的元素进行向下调整。 p-4-2.jpg

5 构建堆

5.1 插入构建

依次向堆尾插入元素,并对该元素进行向上调整,直到满足堆性质。 p-5-1-1.jpg 时间复杂度:
插入一个元素要调整的高度为logi,所以插入n个元素的总次数为log1+log2+...+logn=log(n!)。

根据斯特林公式,有如下证明,所以复杂度O(nlogn)。 p-5-1-2.jpg

5.2 调整构建

待调整的数组,可以直接看成是一棵完全二叉树。 p-5-2-1.jpg 从(n-1)/2位置开始,将每个元素进行向下调整,直到根结点。对于每一个待调整的当前结点,下面的子树都已经满足堆性质,所以调整完所有结点便成了堆。 p-5-2-2.jpg 时间复杂度:
倒数第二层有2^(h-2)个结点,调整高度为1,依次类推,第一层有1个结点,调整高度为h-1,整体加起来的复杂度为O(n)。 p-5-2-3.jpg 代码实现

void buildHeap(int *heap, int n) {

    for (int i = (n - 1) / 2; i >= 0; --i) {
        heapDown(heap, i, n);
    }
}

6 排序

一个已经调整完成的大根堆。 p-6-1.jpg 核心思想:

  • 将堆顶与堆尾的元素置换
  • 整体元素长度减1
  • 对堆顶元素进行向下调整

重复以上过程直到整体元素为1,这时就变成了一个升序排列的数组。

模拟过程:
Step 1

p-6-2.jpg Step 2

p-6-3.jpg

7总结

堆排的复杂度为nlogn,应用场景很广泛,这篇文章主要讲清楚堆相关的操作,具体的应用和建模以后会再专门写文章讲解。

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