【动态规划/背包问题】分组背包问题练习篇 ｜Python 主题月

本文正在参加「Python主题月」，详情查看 活动链接

前言

今天是我们讲解动态规划专题中的 「背包问题」的第十三篇。

今天将完成一道「分组背包」练习题。

由于 LeetCode 没有与「分组背包求最大价值」相关的题目，因此我们使用「分组背包求方案数」来作为练习篇。

另外，我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。

背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解（每隔几天更新一篇，确保大家消化）。

你可以先尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~

题目描述

这是 LeetCode 上的 1155. 掷骰子的N种方法 ，难度为中等。

Tag : 「背包问题」、「动态规划」、「分组背包」

这里有 d 个一样的骰子，每个骰子上都有 f 个面，分别标号为 1,2,...,f。

我们约定：掷骰子的得到总点数为各骰子面朝上的数字的总和。

如果需要掷出的总点数为 target，请你计算出有多少种不同的组合情况（所有的组合情况总共有 $f^d$ 种），模 $10^9 + 7$ 后返回。

示例 1：

输入：d = 1, f = 6, target = 3

输出：1

示例 2：

输入：d = 2, f = 6, target = 7

输出：6

示例 3：

输入：d = 2, f = 5, target = 10

输出：1

示例 4：

输入：d = 1, f = 2, target = 3

输出：0

示例 5：

输入：d = 30, f = 30, target = 500

输出：222616187

提示：

• 1 <= d, f <= 30
• 1 <= target <= 1000

分组背包

在 分组背包问题 中我们提到，分组背包不仅仅有「组内物品最多选择一个」的情况，还存在「组内物品必须选择一个」的情况。

对于本题，可以将每个骰子看作一个物品组，且每次 必须 从物品组中选择一个物品（所掷得的数值大小视作具体物品）。

这样就把问题转换为：用 $d$ 个骰子（物品组）进行掷，掷出总和（取得的总价值）为 $t$ 的方案数。

虽然，我们还没专门讲过「背包问题求方案数」，但基本分析与「背包问题求最大价值」并无本质区别。

我们可以套用「分组背包求最大价值」的状态定义来微调：$f[i][j]$ 表示考虑前 $i$ 个物品组，凑成价值为 $j$ 的方案数。

为了方便，我们令物品组的编号从 $1$ 开始，因此有显而易见的初始化条件 $f[0][0] = 1$。

代表在不考虑任何物品组的情况下，只有凑成总价值为 $0$ 的方案数为 $1$，凑成其他总价值的方案不存在。

不失一般性考虑 $f[i][j]$ 该如何转移，也就是考虑第 $i$ 个物品组有哪些决策。

根据题意，对于第 $i$ 个物品组而言，可能决策的方案有：

• 第 $i$ 个骰子的结果为 $1$，有 $f[i][j] = f[i - 1][j - 1]$

• 第 $i$ 个骰子的结果为 $2$，有 $f[i][j] = f[i - 1][j - 2]$

  ...

• 第 $i$ 个骰子的结果为 $m$，有 $f[i][j] = f[i - 1][j - m]$

$f[i][j]$ 则是上述所有可能方案的方案数总和，即有：

朴素二维

代码：

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int numRollsToTarget(int n, int m, int t) {
        int[][] f = new int[n + 1][t + 1];
        f[0][0] = 1;
        // 枚举物品组（每个骰子）
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 枚举背包容量（所掷得的总点数）
            for (int j = 0; j <= t; j++) {
                // 枚举决策（当前骰子所掷得的点数）
                for (int k = 1; k <= m; k++) {
                    if (j >= k) {
                        f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j-k]) % mod;
                    }
                }
            }
        } 
        return f[n][t];
    }
}

• 时间复杂度：$O(n * m * t)$
• 空间复杂度：$O(n * t)$

滚动数组

根据状态转移方程，我们发现 $f[i][j]$ 明确只依赖于 $f[i - 1][x]$，且 $x < j$。

因此我们可以使用之前学过的「滚动数组」，用很机械的方式将空间从 $O(n * t)$ 优化至 $O(t)$。

需要注意的是，由于我们直接是在 $f[i][j]$ 格子的基础上进行方案数累加，因此在计算 $f[i][j]$ 记得手动置零。

代码：

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int numRollsToTarget(int n, int m, int t) {
        int[][] f = new int[2][t + 1];
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int a = i & 1, b = (i - 1) & 1;
            for (int j = 0; j <= t; j++) {
                f[a][j] = 0; // 先手动置零
                for (int k = 1; k <= m; k++) {
                    if (j >= k) {
                        f[a][j] = (f[a][j] + f[b][j-k]) % mod;
                    }
                }
            }
        } 
        return f[n&1][t];
    }
}

• 时间复杂度：$O(n * m * t)$
• 空间复杂度：$O(t)$

一维空间优化

更进一步，利用「$f[i][j]$ 明确只依赖于 $f[i - 1][x]$，且 $x < j$ 」，我们能通过「01 背包」一维空间优化方式：将物品维度取消，调整容量维度遍历顺序为「从大到小」。

代码：

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int numRollsToTarget(int n, int m, int t) {
        int[] f = new int[t + 1];
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = t; j >= 0; j--) {
                f[j] = 0;
                for (int k = 1; k <= m; k++) {
                    if (j >= k) {
                        f[j] = (f[j] + f[j-k]) % mod;
                    }
                }
            }
        } 
        return f[t];
    }
}

• 时间复杂度：$O(n * m * t)$
• 空间复杂度：$O(t)$

总结

不难发现，不管是「组内物品最多选一件」还是「组内物品必须选一件」。

我们都是直接套用分组背包基本思路 「枚举物品组-枚举容量-枚举决策」 进行求解。

分组背包的空间优化并不会降低时间复杂度，所以对于分组背包问题，我们可以直接写方便调试的朴素多维版本（在空间可接受的情况下），如果遇到卡空间，再通过机械的方式改为「滚动数组」形式。

另外今天我们使用「分组背包问题求方案数」来作为「分组背包问题求最大价值」的练习题。

可以发现，两者其实并无本质区别，都是套用「背包问题求最大价值」的状态定义来微调。

更多的关于「背包问题求方案数」相关内容，在后面也会继续细讲。

背包问题（目录）

1. 01背包 : 背包问题 第一讲

   1. 【练习】01背包 : 背包问题 第二讲

   2. 【学习&练习】01背包 : 背包问题 第三讲

2. 完全背包 : 背包问题 第四讲

   1. 【练习】完全背包 : 背包问题 第五讲

   2. 【练习】完全背包 : 背包问题 第六讲

   3. 【练习】完全背包 : 背包问题 第七讲

3. 多重背包 : 背包问题 第八讲

4. 多重背包（优化篇）

   1. 【上】多重背包（优化篇）: 背包问题 第九讲

   2. 【下】多重背包（优化篇）: 背包问题 第十讲

5. 混合背包 : 背包问题 第十一讲

6. 分组背包 : 背包问题 第十二讲

   1. 【练习】分组背包 : 本篇

7. 多维背包

   1. 【练习】多维背包

8. 树形背包

   1. 【练习篇】树形背包

9. 背包求方案数

   1. 【练习】背包求方案数

10. 背包求具体方案

    1. 【练习】背包求具体方案

11. 泛化背包

    1. 【练习】泛化背包

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1155 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。