WebGL第十二课：向量的线性组合一切都是向量的线性组合，向量的线性组合可以变换出新的好玩的有实际意义的新的向量，都来看

本文标题：WebGL第十二课：向量的线性组合

上次课中，我们讲述了向量的定义，和两个针对向量的操作：

我们根据这两个操作，延伸出一个新的操作： 向量的线性组合。

根据向量就是一堆数，竖着写出来，这句话，可以得知，只要我们把平面上的点的坐标，竖着写，就是向量：
A点(-0.5, 0.5), B点(0.5, 0.5) 用向量表示法就是：

我们将这两个向量进行加法操作，会得到一个新的向量C：
C = A + B ，如下图：

那么C点的意义是什么呢，我们观察一下三个坐标在图中的情况：

😯，我们完全观察不到什么有用的意义，对于C点。
但是向量加法一定是有他的含义的，我们一定要找出来。

然后小明要从A到B，假设小明已经走到了D点。如下图：

然后小明又走到了E点。如下图：

那很显然，我们需要一个算式来表示D或者E的坐标，换一句更通用的话：
我们需要一个算式来表示，A和B中间任意一点 F 的坐标。
基于最自然的想法，这个算式，肯定和A B两点都有关系。

不绕圈子了，现给出下面的式子：

F = A * (1-t) + B * t; // 0 <= t <= 1

不妨来分析一下上面的式子：

再大白话一点，就是A乘以一个数，加B乘以一个数。
我们先不分析 F 为什么就一定在 A 和 B 之间。我们先给出线性组合的定义：

1. 每一个向量乘以的数字，不用相同，完全独立。
2. 不能所有数字都是0，如果都是0，最后结果肯定是 0 向量，没啥意思。
3. 一堆向量的线性组合，结果还是一个向量。
4. 所有的乘数，统称为系数。

现在再次列出刚才的F算式：

F = A * (1-t) + B * t; // 0 <= t <= 1

在这个例子里，系数依次是 1-t 和 t，并且t的范围限制在[0,1]之间。
我们不妨让 t = 0，看看结果是什么，如下图：

我们发现刚好就是 A 点本身。

我们再让 t = 1，看看会发生什么：

刚好就是 B 点。

我们由此可以大胆猜测：如果让 t 从 0 到 1 ，慢慢改变，那么 F 点就是从 A 到 B，慢慢移动过去。自然的，F点肯定会在 A B 之间的线段上。

上面的结果很有意思，一般的，我们把 F 这个式子，称之为 线性插值公式。
大概就是在说，A和B，中间插一脚，的意思吧。。。

插值公式本身，就是一个特殊的线性组合而已，特殊性在于系数的选取和范围的固定。
但是千万不要认为，线性组合就一定要把系数搞到一种特定的范围里，这是错的。
系数可以随便取, 谨记~

上面说了，并不一定所有的线性组合都有什么特殊含义。只有某些线性组合才有实际用处，例如插值公式。

再来看两个向量的加法，我们一开始 A + B = C，得到 C 之后，就把 C 晾在那里，没分析这个到底有什么用，对吧。

我们重写这个式子如下：
C = 1 * A + 1 * B。
根据线性组合的概念来讲，向量相加，本身就是一种线性组合，怎么组合呢，就是系数都取1。
从这个角度来讲，其实已经讲到头了，那么 C 点本身的含义，不在此节课范围，后面的课程会接着说。

G = x * A + y * B; // x ∈ [0, 1] , y ∈ [0, 1]

注意，x和y没什么关联性，可以独立变化,不过都在[0, 1] 范围内。

正文结束，下面是答疑

G 的坐标应该坐落在这个涂色区域内部，对吧，嘎嘎嘎。

WebGL第十二课：向量的线性组合