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【每日算法】最大数对和的最小值,贪心解的正确性证明|Python 主题月

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1877. 数组中最大数对和的最小值 ,难度为 中等

Tag : 「贪心」

一个数对 (a,b) 的 数对和 等于 a + b 。最大数对和 是一个数对数组中最大的 数对和 。

比方说,如果我们有数对 (1,5) ,(2,3) 和 (4,4),最大数对和 为 max(1+5, 2+3, 4+4) = max(6, 5, 8) = 8 。 给你一个长度为 偶数 n 的数组 nums ,请你将 nums 中的元素分成 n / 2 个数对,使得:

  • nums 中每个元素 恰好 在 一个 数对中,且
  • 最大数对和 的值 最小 。

请你在最优数对划分的方案下,返回最小的 最大数对和 。

示例 1:

输入:nums = [3,5,2,3]

输出:7

解释:数组中的元素可以分为数对 (3,3) 和 (5,2) 。
最大数对和为 max(3+3, 5+2) = max(6, 7) = 7 。
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示例 2:

输入:nums = [3,5,4,2,4,6]

输出:8

解释:数组中的元素可以分为数对 (3,5),(4,4) 和 (6,2) 。
最大数对和为 max(3+5, 4+4, 6+2) = max(8, 8, 8) = 8 。
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提示:

  • n == nums.length
  • 2 <= n <= 10510^5
  • n 是 偶数 。
  • 1 <= nums[i] <= 10510^5

基本分析 & 证明

直觉上,我们会认为「尽量让“较小数”和“较大数”组成数对,可以有效避免出现“较大数成对”的现象」。

我们来证明一下该猜想是否成立。

假定 numsnums 本身有序,由于我们要将 numsnums 拆分成 n/2n / 2 个数对,根据猜想,我们得到的数对序列为:

(nums[0],nums[n1]),(nums[1],nums[n2]),...,(nums[(n/2)1],nums[n/2])(nums[0], nums[n - 1]), (nums[1], nums[n - 2]), ... , (nums[(n / 2) - 1], nums[n / 2])

换句话说,构成答案的数对必然是较小数取自有序序列的左边,较大数取自有序序列的右边,且与数组中心对称

假设最大数对是 (nums[i],nums[j])(nums[i], nums[j]),其中 i<ji < j,记两者之和为 ans=nums[i]+nums[j]ans = nums[i] + nums[j]

反证法证明,不存在别的数对组合会比 (nums[i],nums[j])(nums[i], nums[j]) 更优:

假设存在数对 (nums[p],nums[q])(nums[p], nums[q])(nums[i],nums[j])(nums[i], nums[j]) 进行调整使答案更优。

image.png

接下来分情况讨论:

  • 调整为 (nums[i],nums[p])(nums[i], nums[p])(nums[q],nums[j])(nums[q], nums[j]):此时最大数对答案为 nums[q]+nums[j]nums[q] + nums[j],显然 nums[q]+nums[j]>=nums[i]+nums[j]=ansnums[q] + nums[j] >= nums[i] + nums[j] = ans。我们要最小化最大数对和,因此该调整方案不会让答案更好;

  • 调整为 (nums[i],nums[q])(nums[i], nums[q])(nums[p],nums[j])(nums[p], nums[j]):此时最大数对答案为 max(nums[i]+nums[q],nums[p]+nums[j])=nums[p]+nums[j]>=nums[i]+nums[j]=ans\max(nums[i] + nums[q], nums[p] + nums[j]) = nums[p] + nums[j] >= nums[i] + nums[j] = ans。我们要最小化最大数对和,因此该调整方案不会让答案更好;

上述分析可以归纳推理到每一个“非对称”的数对配对中。

至此我们得证,将原本对称的数对调整为不对称的数对,不会使得答案更优,即贪心解可取得最优解。

贪心

对原数组 numsnums 进行排序,然后从一头一尾开始往中间组「数对」,取所有数对中的最大值即是答案。

Java 代码:

class Solution {
    public int minPairSum(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);
        int n = nums.length;
        int ans = nums[0] + nums[n - 1];
        for (int i = 0, j = n - 1; i < j; i++, j--) {
            ans = Math.max(ans, nums[i] + nums[j]);
        }
        return ans;
    }
}
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Python 3 代码:

class Solution:
    def minPairSum(self, nums: List[int]) -> int:
        nums.sort()
        n = len(nums)
        ans = nums[0] + nums[n - 1]
        for i in range(1, n//2):
            ans = max(ans, nums[i] + nums[n - 1 - i])
        return ans
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  • 时间复杂度:O(nlogn)O(n\log{n})
  • 空间复杂度:O(logn)O(\log{n})

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1877 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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