题目描述:
给定一个包含非负整数的 m x n
网格 grid
,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。
说明: 每次只能向下或者向右移动一步。
题解:
动态规划(Dynamic Programming, DP)
-
动态规划只能
应用于有最优 子结构
的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解
(对有些问题这个要求并不能完全满足,故有时需要引入一定的近似)。 -
简单地说,
问题能够分解成子问题来解决
。 -
通俗一点来讲,动态规划和其它遍历算法(如深/广度优先搜索)都是将
原问题拆成多个子问题然后求解
,他们之间最本质的区别是,动态规划保存子问题的解,避免重复计算
。 -
解决动态规划问题的关键是找到
状态转移方程
,这样我们可以通计算和储存子问题的解来求解最终问题
。 -
同时,我们也可以对动态规划进行
空间压缩
,起到节省空间消耗的效果。 -
在一些情况下,动态规划可以看成是
带有状态记录(memoization)的优先搜索
。 -
动态规划是自下而上的
,即先解决子问题,再解决父问题; -
而用带有
状态记录的优先搜索
是自上而下
的,即从父问题搜索到子问题,若重复搜索到同一个子问题则进行状态记录,防止重复计算。 -
如果题目需求的是最终状态,那么使用动态搜索比较方便;
-
如果题目需要输出所有的路径,那么使用带有状态记录的优先搜索会比较方便。
回到本题目
dp[i][j] 表示从左上角开始到 (i, j) 位置的最
优路径的数字和。因为每次只能向下或者向右移动,我们可以很容易得到状态转移方程 dp[i][j] =
min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
var minPathSum = function(grid) {
let m = grid.length, n = grid[0].length;
let dp = Array.from({length: m}, ()=> new Array(n).fill(0));
for(let i = 0; i < m; i++) {
dp[i][0] = i === 0 ? grid[i][0] : dp[i-1][0] + grid[i][0];
}
for(let j = 0; j < n; j++) {
dp[0][j] = j === 0 ? grid[0][j] : dp[0][j - 1] + grid[0][j];
}
for(let i = 1; i < m; i++){
for(let j = 1; j < n; j ++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
}
}
return dp[m-1][n-1];
};
压缩空间
var minPathSum = function(grid) {
let m = grid.length, n = grid[0].length;
let dp = new Array(n).fill(0);
for(let i = 0; i < m; i++){
for(let j = 0; j < n; j ++) {
if(i== 0 && j== 0) {
dp[j] = grid[i][j]
}else if(i == 0) {
dp[j] = dp[j-1] + grid[i][j]
}else if(j === 0) {
dp[j] = dp[j] + grid[i][j]
}else{
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-1]) + grid[i][j];
}
}
}
return dp[n-1];
};