198. 打家劫舍

问题描述：

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

题解

动态规划（Dynamic Programming, DP）

• 动态规划只能应用于有最优 子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解（对有些问题这个要求并不能完全满足，故有时需要引入一定的近似）。

• 简单地说，问题能够分解成子问题来解决。

• 通俗一点来讲，动态规划和其它遍历算法（如深/广度优先搜索）都是将原问题拆成多个子问题然后求解，他们之间最本质的区别是，动态规划保存子问题的解，避免重复计算。

• 解决动态规划问题的关键是找到状态转移方程，这样我们可以通计算和储存子问题的解来求解最终问题。

• 同时，我们也可以对动态规划进行空间压缩，起到节省空间消耗的效果。

• 在一些情况下，动态规划可以看成是带有状态记录（memoization）的优先搜索。

• 动态规划是自下而上的，即先解决子问题，再解决父问题；

• 而用带有状态记录的优先搜索是自上而下的，即从父问题搜索到子问题，若重复搜索到同一个子问题则进行状态记录，防止重复计算。

• 如果题目需求的是最终状态，那么使用动态搜索比较方便；

• 如果题目需要输出所有的路径，那么使用带有状态记录的优先搜索会比较方便。

分析：

定义数组 dp，dp[i]到表示第 i 个房子时，可以抢劫的最大数量。

这时候有两种选择，一不抢劫这个房子，累计金额为dp[i-1]；二抢，累计的最大金额dp[i-2]，因为我们不

能够抢劫第 i-1 个房子，否则会触发警报机关，状态转移方程为 dp[i] = max(dp[i-1],

nums[i] + dp[i-2])。

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var rob = function(nums) {
   if(!nums.length) return 0;
   if(nums.length === 1) return nums[0]
   if(nums.length === 2) return Math.max(nums[0], nums[1]); 
   let n = nums.length;
   let dp = [];
   dp[0] = nums[0];
   dp[1] = Math.max(Math.max(nums[0], nums[1]));
   for(let i = 2; i < n; i++) {
       dp[i] = Math.max(dp[i-1], nums[i] + dp[i-2]);
   }
   return dp[n-1];
};

空间压缩

var rob = function(nums) {
   if(!nums.length) return 0;
   if(nums.length === 1) return nums[0]
   if(nums.length === 2) return Math.max(nums[0], nums[1]); 
   let n = nums.length;
   // O(n)--> O(1)
   let pre2 = nums[0], pre1 = Math.max(Math.max(nums[0], nums[1])), cur;
   for(let i = 2; i < n; i++) {
       cur = Math.max(pre1, nums[i] + pre2);
       pre2 = pre1;
       pre1 = cur;
   }
   return cur;
};