【每日算法】简单线性 DP 与简单拓展｜Python 主题月

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题目描述

这是 LeetCode 上的 剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和 ，难度为简单。

Tag : 「线性 DP」

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为 $O(n)$ 。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

输出: 6

解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示：

1 <= arr.length <= $10^5$
-100 <= arr[i] <= 100

动态规划

这是一道简单线性 DP 题。

定义 $f[i]$ 为考虑以 $nums[i]$ 为结尾的子数组的最大值。

不失一般性的考虑 $f[i]$ 如何转移。

显然对于 $nums[i]$ 而言，以它为结尾的子数组分两种情况：

$num[i]$ 自身作为独立子数组： $f[i] = nums[i]$ ；
$num[i]$ 与之前的数值组成子数组，由于是子数组，其只能接在 $nums[i - 1]$ ，即有： $f[i] = f[i - 1] + nums[i]$ 。

最终 $f[i]$ 为上述两种情况取 $\max$ 即可：

f[i] = \max(nums[i], f[i - 1] + nums[i])

Java 代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] f = new int[n];
        f[0] = nums[0];
        int ans = f[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            f[i] = Math.max(nums[i], f[i - 1] + nums[i]);
            ans = Math.max(ans, f[i]);
        }
        return ans;
    }
}

Python 3 代码：

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        f = [0] * n
        ans = f[0] = nums[0]
        for i in range(1, n):
            f[i] = max(nums[i], f[i - 1] + nums[i])
            ans = max(ans, f[i])
        return ans

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(n)$

空间优化

观察状态转移方程，我们发现 $f[i]$ 明确值依赖于 $f[i - 1]$ 。

因此我们可以使用「有限变量」或者「滚动数组」的方式，将空间优化至 $O(1)$ 。

Java 代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int max = nums[0], ans = max;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            max = Math.max(nums[i], max + nums[i]);
            ans = Math.max(ans, max);
        }
        return ans;
    }
}

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] f = new int[2];
        f[0] = nums[0];
        int ans = f[0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int a = i & 1, b = (i - 1) & 1;
            f[a] = Math.max(nums[i], f[b] + nums[i]);
            ans = Math.max(ans, f[a]);
        }
        return ans;
    }
}

Python 3 代码：

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        ans = curMax = nums[0]
        for i in range(1, n):
            curMax = max(nums[i], curMax + nums[i])
            ans = max(ans, curMax)
        return ans

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        ans = nums[0]
        f = [ans, 0]
        for i in range(1, n):
            a, b = i & 1, (i - 1) & 1
            f[a] = max(nums[i], f[b] + nums[i])
            ans = max(ans, f[a])
        return ans

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(1)$

拓展

一个有意思的拓展是，将加法替换成乘法。

题目变成 152. 乘积最大子数组（中等）。

又该如何考虑呢？

一个朴素的想法，仍然是考虑定义 $f[i]$ 代表以 $nums[i]$ 为结尾的最大值，但存在「负负得正」取得最大值的情况，光维护一个前缀最大值显然是不够的，我们可以多引入一维 $g[i]$ 作为前缀最小值。

其余分析与本题同理。

Java 代码：

class Solution {
    public int maxProduct(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] g = new int[n + 1]; // 考虑前 i 个，结果最小值
        int[] f = new int[n + 1]; // 考虑前 i 个，结果最大值
        g[0] = 1;
        f[0] = 1;
        int ans = nums[0];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int x = nums[i - 1];
            g[i] = Math.min(x, Math.min(g[i - 1] * x, f[i - 1] * x));
            f[i] = Math.max(x, Math.max(g[i - 1] * x, f[i - 1] * x));
            ans = Math.max(ans, f[i]);
        }
        return ans;
    }
}

class Solution {
    public int maxProduct(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int min = 1, max = 1;
        int ans = nums[0];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int x = nums[i - 1];
            int nmin = Math.min(x, Math.min(min * x, max * x));
            int nmax = Math.max(x, Math.max(min * x, max * x));
            min = nmin;
            max = nmax;
            ans = Math.max(ans, max);
        }
        return ans;
    }
}

Python 3 代码：


class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        g = [0] * (n + 1) # 考虑前 i 个，结果最小值
        f = [0] * (n + 1) # 考虑前 i 个，结果最大值
        g[0] = f[0] = 1
        ans = nums[0]
        for i in range(1, n + 1):
            x = nums[i - 1]
            g[i] = min(x, min(g[i-1] * x, f[i-1] * x))
            f[i] = max(x, max(g[i-1] * x, f[i-1] * x))
            ans = max(ans, max(f[i], g[i]))
        return ans

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.剑指 Offer 42 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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