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【每日算法】贪心决策原排序数组的每一位,以及贪心解的正确性证明|Python 主题月

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1846. 减小和重新排列数组后的最大元素 ,难度为 中等

Tag : 「贪心」

给你一个正整数数组 arr 。请你对 arr 执行一些操作(也可以不进行任何操作),使得数组满足以下条件:

  • arr 中 第一个 元素必须为 1 。
  • 任意相邻两个元素的差的绝对值 小于等于 1 ,也就是说,对于任意的 1 <= i < arr.length (数组下标从 0 开始),都满足 abs(arr[i] - arr[i - 1]) <= 1 。abs(x) 为 x 的绝对值。

你可以执行以下 2 种操作任意次:

  • 减小 arr 中任意元素的值,使其变为一个 更小的正整数 。
  • 重新排列 arr 中的元素,你可以以任意顺序重新排列。

请你返回执行以上操作后,在满足前文所述的条件下,arr 中可能的 最大值 。

示例 1:

输入:arr = [2,2,1,2,1]

输出:2

解释:
我们可以重新排列 arr 得到 [1,2,2,2,1] ,该数组满足所有条件。
arr 中最大元素为 2 。
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示例 2:

输入:arr = [100,1,1000]

输出:3

解释:
一个可行的方案如下:
1. 重新排列 arr 得到 [1,100,1000] 。
2. 将第二个元素减小为 2 。
3. 将第三个元素减小为 3 。
现在 arr = [1,2,3] ,满足所有条件。
arr 中最大元素为 3 。
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示例 3:

输入:arr = [1,2,3,4,5]

输出:5

解释:数组已经满足所有条件,最大元素为 5 。
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提示:

  • 1 <= arr.length <= 10510^5

1 <= arr[i] <= 10910^9

基本分析 & 证明

根据题意,数组的第一位必须是 11,且每个数只能 减小不变,数值位置可以任意调整。

求解经过调整后,符合要求的数组中的最大值是多少。

首先符合条件的数组相邻位差值绝对值不超过 11,这限定了数组的必然是如下三种分布之一:

  • (非严格)单调递减
  • 存在波段
  • (非严格)单调递增

证明一:取得最优解对应的数组「必然是」或者「可调整为」(非严格)单调递增的形式。

我们使用反证法来证明另外两种分布不能取得最优解:

  • (非严格)单调递减:题目限定了数的范围为正整数,且第一位为 11,这种情况不用讨论了,跳过;
  • 存在波段:我们始终可以将波峰的右侧出现的值,纳入到波峰的左侧,从而消掉这个波峰,最终将整个分布调整为「(非严格)单调递增」的形式,结果不会变差:

多个波段的情况也是同理,可以自己在纸上画画。

都是利用 波峰右侧的点可以调整成波峰左侧的点,从而使分布变为(非严格)单调递增。

至此,我们证明了最优解对应的数组必然符合(非严格)单调递增。

这启发我们可以先对原数组排个序,在此基础上进行分析。

对原数组排序得到的有序数组,不一定是符合「相邻位差值绝对值不超过 11」的,同时由于每个数值可以选择 减小不变

证明二:当必须要对当前位进行调整的时,优先选择调整为「与前一值差值为 11 的较大数」不会比调整为「与前一差值为 00 的较小数」更差。

这可以使用归纳推理,假设采取「优先调整为与前一值差值为 11 的较大数」得到的序列为 a,采用「优先调整与前一差值为 00 的较小数」得到的序列为 b

根据「a[0]=b[0]=1a[0] = b[0] = 1」、「ab 长度一致」、「ab 均为(非严格)单调递增」以及「ab 均满足相邻位差值不超过 11」,可推导出 sum(a)>=sum(b)sum(a) >= sum(b),和任意位置 a[i]>=b[i]a[i] >= b[i],从而推导出 a 序列的最后一位必然大于等于 b 的最后一位。

b 不会比 a 更优。

证明三:调整大小的操作不会改变数组元素之间的相对位置关系。

在证明二的分析中,我们会对某些元素进行“减小”操作,使得整个数组最终满足「相邻位差值绝对值不超过 11」。

但该证明成立的还有一个很重要的前提条件,就是调整操作不会出发元素的位置重排。

那么该前提条件是否必然成立呢?答案是必然成立。

假设原排序数组中存在需要调整的点 ii 和点 jj,且 nums[i]<=nums[j]nums[i] <= nums[j]

为了让数组满足条件,它们都进行了“减少”操作的调整,分别变为了 ppqq,如果触发位置重排的话,必然有 nums[p]>=nums[q]nums[p] >= nums[q]

此时,我们能够通过调整它们的变化关系:点 ii 变为点 qq、点 jj 变成点 pp 来确保同样满足条件,且不触发元素在有序数组中的位置重排。

贪心

排序,限定第一位值为 11,从前往后处理,根据每一位是否「必须修改(与上一位差值是否大于 11)」做决策,如果必须被修改,则修改为与前一值差值为 11 的较大数。

Java 代码:

class Solution {
    public int maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        Arrays.sort(arr);
        arr[0] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (arr[i] - arr[i - 1] > 1) {
                arr[i] = arr[i - 1] + 1;
            }
        }
        return arr[n - 1];
    }
}
复制代码

Python 3 代码:

class Solution:
    def maximumElementAfterDecrementingAndRearranging(self, arr: List[int]) -> int:
        n = len(arr)
        arr.sort()
        arr[0] = 1
        for i in range(1, n):
            if arr[i] - arr[i - 1] > 1:
                arr[i] = arr[i - 1] + 1
        return arr[n - 1]
复制代码
  • 时间复杂度:假定 Arrays.sort 使用的是双轴快排实现。复杂度为 O(nlogn)O(n\log{n})
  • 空间复杂度:假定 Arrays.sort 使用的是双轴快排实现。复杂度为 O(logn)O(\log{n})

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1846 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:github.com/SharingSour…

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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