秒懂！进制和位运算

写在前面

计算机中所有的数据二进制的形式存储在设备中。即 0、1 两种状态，计算机对二进制数据进行的运算(+、-、*、/)都是叫位运算，即将符号位共同参与运算的运算。

关于进制

进制是计算机中数据的一种表示方法。 N进制的数可以用0~(N-1) 的数表示, 超过9的用字母A-F 表示 。

• 十进制：用 0~9 的数表示 , 逢 10 进 1
• 二进制：由 0-1组成
• 八进制：由 0-7组成，逢 8 进 1
• 十六进制： 由 0-9，A-F组成。0-9 对应 0-9，A-F对应10-15。字母不区分大小写

进制的转换

二进制转十进制

二进制数的第0位的权值是2的0次方，第一位是2的1次方......

所以，设有一个二进制数：101100100，转换为十进制为(从右向左)：

0x2 ⁰ + 0x2 ¹ + 1x2 ² + 0x2 ³ + 0x2 ⁴ + 1x2 ⁵ + 1x2 ⁶ + 0x2 ⁷ + 1x2 ⁸ = 356

八进制转十进制

八进制数的第0位的权值是8的0次方，第一位是8的1次方......

所以，设有一个八进制数：1507，转换为十进制为(从右向左)：

7x8 ⁰ + 0x8 ¹ + 5x8 ² + 1x8 ³ = 839

十六进制转十进制

十六进制数的第0位的权值是16的0次方，第一位是16的1次方......

所以，设有一个十六进制数2AF5,转换为十进制为(从右向左)：

5x16 ⁰ + Fx16 ¹ + Ax16 ² + 2x16 ³ = 10997

快速的进行2进制,10进制,16进制的相互转换

二进制的8421

首先我们来看一个二进制数：1111，它是多少呢？ 你可能还要这样计算：1×2º+1×2¹+1×2²+1×2³=1×1+1×2+1×4+1×8=15。

我们必须直接记住1111每一位的权值，并且是从高位往低位记：8、4、2、1。

即，最高位的权值为2³=8，然后依次是 2² =4，2¹=2，2º=1。

记住8 4 2 1，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。

接下来我们练习 通过 8421 的方式 进行 快速的计算 , 2,10,16进制的转换

1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 =F
1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14= E
1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13= D
1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 =C
1011 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11= B
1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 =A
1001 = 8 + 0 + 0 + 1 =9 =9
……
0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1= 1
0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0= 0

• 二进制数转十六进制

  以4位一段，分别转换为十六进制，如：

  

• 十六进制转二进制

  反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将此十六进制转二进制呢？

  看到F，我们需知道它是15，然后15如何用8421凑呢？

  应该是：8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。

  接着转换D，看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？

  应该是：8 + 4 + 1，即：1101。

  所以，FD转换为二进制数，为：1111 1101

• 十进制转二进制

  由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成二进制数时，也可以先转换成十六进制，然后再转换成二进制。 比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数：

  1234÷16=77...2
  77÷16=4...13(D)
  4÷16=0...4
  

  十六进制为：4D2

  转二进制对应为：

  0100   4
  1101   D
  0010   2
  

  即十进制1234转二进制为：0100 1101 0010

• 二进制转十进制

  同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成十进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成十六进制，然后再转换为10进制。如一个int类型的二进制数如下：

  0110 1101 1110 0101 1010 1111 0001 1011
  

  我们按四位一组转换为十六进制：6 D E 5 A F 1 B

  十六进制转化为十进制：

  Bx16 ⁰ + 1x16 ¹ + Fx16 ² + Ax16 ³ + 5x16 ⁴ + Ex16 ⁵ + Dx16 ⁶ + 6x16 ⁷ = 1843769115

• 十进制转十六进制

  采余数定理分解，例如将487710转成十六进制：

  487710÷16=30481...14(E)
  30481÷16=1905...1
  1905÷16=119...1
  119÷16=7...7
  7÷16=0...7
  

  487710(10) = 7711E(16)

位运算

计算机中的计算都是以二进制来进行运算的，因此相比在代码中直接使用（+、-、*、/）运算符，合理使用位运算符能提高代码的执行效率。

符号	描述	运算规则
&	位与	两个位都为1时，结果才为1(1&1=1，0&0=0，1&0=0)
|	位或	两个位都为0时，结果才为0(1|1=1，0|0=0，1|0=1）
~	位非(取反)	1变0，0变1 (~1=0 ，~0=1)
	位异或	两个位相同为0，相异为1(1 ^ 1=0，1 ^ 0=1， 0 ^ 0=0)
>>	有符号右移	若正数,高位补0,负数,高位补1
<<	有符号左移	若正数,高位补0,负数,高位补1
>>>	无符号右移	不论正负,高位均补0

与(&)

4 & 6 = 4

首先我们需要把两个十进制的数转换成二进制

4  0 1 0 0
6  0 1 1 0
----------
4  0 1 0 0

用途

• 清零：若想将一个单元清零，只要与一个各位都为0的数值相与，结果就为零

• 判断奇偶：只要根据最末位判断是0还是1就可以判断，是0就是偶数，是1就是奇数

  if ((a & 1) == 0) //如果a是偶数
  代替
  if (a % 2 == 0) 
  

或(|)

4 & 6 = 6

首先我们需要把两个十进制的数转换成二进制

4  0 1 0 0
6  0 1 1 0
----------
6  0 1 1 0

用途

• 常用来对一个数据的某些位设置为1：若要将一个数X=10101100的低四位设置为1，那么令Y=00001111，X与Y相或的结果就是将X的低四位设置为1（X | Y = 10101111）

非(~)

在Java中，所有数据的表示方法都是以补码的形式表示，如果没有特殊说明，Java中的数据类型默认是int,int数据类型是占4个字节，1字节为8位，所以int为32位，32bit。

补码与原码关系：正数补码与原码相同，负数补码是原码减1后取反

例如：5
原码是：00000000 00000000 00000000 00000101
补码是：00000000 00000000 00000000 00000101（计算机内存储）

例如：-5
原码：10000000 00000000 00000000 00000101
补码：11111111 11111111 11111111 11111011（计算机内存储）

注意：二进制中，最高位是符号位1表示负数，0表示正数

了解了原码补码我们来看位非~运算符

例：~4

4  0 1 0 0
----------
-5  1 0 1 1

4转为二进制是：0100

补码为：00000000 00000000 00000000 00000100

取反为：11111111 11111111 11111111 11111011(这就是~4在计算机存储的补码)

需要将补码计算出原码然后转化为十进制，高位不变，取反+1

10000000 00000000 00000000 00000101

转为十进制为：-5

所以 ~4 = -5

异或(^)

4 ^ 6 = 6

首先我们需要把两个十进制的数转换成二进制

4  0 1 0 0
6  0 1 1 0
----------
2  0 0 1 0

相同为0，不同为1

用途

• 交换两个数：一个数和另一个数异或两次得到还是原来的数

  //不使用临时变量交换两个数
  void swap ( int a, int b ) {
      if ( a != b) {
          a = a ^ b;
          b = a ^ b;//a与b异或两次了，现在值为a
          a = a ^ b;//用原来的a、b表示的话，这句代码的意思是a^b^a
      }
  }
  

右移(>>)

4>>1 = 2

4转为二进制是：0100

正数,高位补0,负数,高位补1

左移(<<)

4<<1 = 8

4转为二进制是：0100

正数,高位补0,负数,高位补1

负数在非运算中已做说明，这里不在演示。

无符号右移(>>>)

无符号右移(>>>)只对32位和64位有意义。

在移动位的时候与右移运算符的移动方式一样的，区别只在于补位的时候不管是0还是1，都补0。

有趣的取模性质

取模a % (2^n) 等价于 a & (2^n - 1)，所以在map里的数组个数一定是2的乘方数，计算key值在哪个元素中的时候，就用位运算来快速定位。

 public static void main(String[] args) {
        //取模a % (2^n) 等价于 a & (2^n - 1)
        System.out.println("the 345 % 16 is : " + (345 % 16)); //9
        System.out.println("the 345 % 16 is : " + (345 & (16 - 1)));//9
 }