前言
本篇主要对计算机图形学中变换的知识点进行总结，描述了2D变换、齐次坐标、组合变换、三维变换等的一些使用。同时，感谢令琪大佬的醍醐灌顶的授课。
图形学系列文章：
为什么要学习变换
- 可以用于建模
- 查看从3D世界到2D平面的投影变换
变换在动画，成像以及各方面都得到广泛的应用，这就是我们为什么要学习它。
2维变换
- 使用矩阵表示变换 (线性变换)
- 旋转、缩放、剪切
缩放变换
矩阵的写法形式：
反射变换
表示：
矩阵的写法形式：
剪切变换
提示：
- 水平位移在 y=0 处为 0
- 水平位移在 y=1 处为 a
- 垂直位移始终为 0
矩阵的写法形式：
旋转变换
默认是（0，0）点，顺时针旋转
旋转矩阵：（基于线性变换，相同的维度）
齐次坐标
平移变换场景：
平移不能以矩阵形式表示，只能是这样：
所以，平移不是线性变换
但我们不希望平移变换成为一个特殊的变换。
是否有一种统一的方式来表示所有的变换？
齐次坐标的解决方案
添加第三个坐标
平移变换
平移的矩阵表示：
如果结果的 w 坐标为 1 或 0 则有效操作
在齐次坐标中，
仿射变换
仿射变换 = 线性映射 + 变换
利用其次坐标
利用齐次坐标表示缩放旋转平移（2维）
就平移来说，用一个矩阵，可以把线性变换的部分（2x2），和平移这一部分都统一的写成矩阵的形式。
这样一来，我们用其次坐标，就可以各种不同的变换写成同一个。
统一的表示形式，而代价就是引入了额外的数字，任何一个点（x,y）都写成了(x,y,1)。任何一个向量（x,y）都写成了（x,y,0）。
逆变换
就是把一个变换的操作反过来，就是逆变换。
是矩阵和几何意义上的变换的逆矩阵。
变换组合
变换顺序问题
不同的变换顺序，影响结果。
方案一：
先平移，后旋转
方案二：
先旋转，后平移
顺序不一样，得到的结果也不一样。
同理，矩阵乘的顺序不一样，结果不一样。
推导得出，矩阵不满足交换律。
向量乘以一个矩阵，矩阵应该放在左边，注意矩阵从右到左应用（从右向左乘）
组合公式
如仿射变换序列 A1, A2, A3, ...
• 通过矩阵乘法 • 对性能非常重要！
分解复杂的变换
如何围绕给定点 c 旋转？
- 将中心平移到原点
- 旋转
- 平移返回
矩阵表示：
3维变换
仿射变换
再次使用齐次坐标表示，线性变换和平移：
同样的道理，定义（x,y,z,w）,只要w !=0, 就表示是一个点。
只有w = 1的情况下， 表示一个就是3维的点。
如果w != 1， w != 0,这个这时 想x,y,z同时除以w, 就变成w = 1的情况了。
（x/w, y/w, z/w）
使用4×4矩阵中为仿射变换：
在3维中表示变换：
围绕着x、y、z轴旋转拆解
围绕某一固定轴旋转：
- 绕这x轴旋转，y和z都是在旋转的。但是任意一个点，它的x是不变的。
- 绕z轴旋转，也是同上。
- 绕y轴旋转，因为是右手螺旋定则，所以是z叉乘x得到y，所以如图y的矩阵看起来是反的。
任意绕轴旋转：
- 分解为单一轴旋转;
- 常用于飞行模拟：滚转，俯仰，偏航 (roll, pitch, yaw)
rodrigues的旋转公式:
旋转角度 α 绕轴 n
围绕任意轴旋转，而这个轴的起点并不在原点，做法是把所有的东西都移动，使得这个轴的起点为原点，然后再旋转，然后再把所有的东西都移回去。
四元数、万像锁的概念待查。
矩阵转置
旋转负角度a，就是把角度a，做了一个转置。
旋转角度a和旋转负角度a，正好是一个互逆的操作。
数学上，一个矩阵的逆等于它的转置，这个矩阵为正交矩阵。
旋转矩阵里的逆，就等于旋转矩阵的转置。也就是说正交矩阵的转置等于正交矩阵的逆。
