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排序算法概述

一、概述  

  1、排序也称排序算法(Sort Algorithm),排序是将一组数据,依指定的顺序进行排列的过程。
  2、排序的分类:
    1) 内部排序:
      指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器中进行排序。
    2) 外部排序法:
      数据量过大,无法全部加载到内存中,需要借助外部存储进行排序。
    3)常见算法分类:
    

  3、十种算法(蓝色)的时间复杂度

  

一、算法时间复杂度

  1、度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

    1)事后统计的方法
    这种方法可行, 但是有两个问题:

    一是要想对设计的算法的运行性能进行评测,需要实际运行该程序;

    二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式,要在同一台计算机的相同状态下运行,才能比较那个算法速度更快。
    2)事前估算的方法
    通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优

二、时间频度

  1)基本介绍

  时间频度:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)

  2)举例说明-忽略常数项

  

    

  结论:
  2n+20 和 2n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 20可以忽略
  3n+10 和 3n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 10可以忽略

  3)举例说明-忽略低次项

  

  

  结论:
  2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
  n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

  4)举例说明-忽略系数

  

  

  结论:
  随着n值变大,5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ,执行曲线重合, 说明  这种情况下, 5和3可以忽略。
  而n^3+5n 和 6n^3+4n  ,执行曲线分离,说明多少次方式关键

三、时间复杂度

  1)一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O( f(n) ),称O( f(n) )  为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

  2)T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为O(n²)。
  3)计算时间复杂度的方法:

  • 用常数1代替运行时间中的所有加法常数  T(n)=n²+7n+6  => T(n)=n²+7n+1
  • 修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项  T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
  • 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

四、常见的时间复杂度

  1. 常数阶O(1)
  2. 对数阶O(log2n)
  3. 线性阶O(n)
  4. 线性对数阶O(nlog2n)
  5. 平方阶O(n^2)
  6. 立方阶O(n^3)
  7. k次方阶O(n^k)
  8. 指数阶O(2^n)

  

  说明:

  常见的算法时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n2)<Ο(n3)< Ο(nk) <Ο(2n) ,随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低
  从图中可见,我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

  1)常数阶O(1)

  无论代码执行了多少行,只要是没有循环等复杂结构,那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

  

  上述代码在执行的时候,它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长,那么无论这类代码有多长,即使有几万几十万行,都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。
  2)对数阶O(log2n)

  

  说明:

  在while循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次方等于 n,那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后,这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O(log2n)  。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的,i = i * 3 ,则是 O(log3n)
  

  3)线性阶O(n)

  

  说明:

  这段代码,for循环里面的代码会执行n遍,因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的,因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度
  4)现行对数阶O(nlogN)

  

  说明:

  线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解,将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话,那么它的时间复杂度就是 n * O(logN),也就是了O(nlogN)
  5)平方阶O(n2)

  说明:

  平方阶O(n²) 就更容易理解了,如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍,它的时间复杂度就是 O(n²),这段代码其实就是嵌套了2层n循环,它的时间复杂度就是 O(n*n),即  O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m,那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)
  6)立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

  说明:

  参考上面的O(n²) 去理解就好了,O(n³)相当于三层n循环,其它的类似

五、空间复杂度

  基本介绍

  1、类似于时间复杂度的讨论,一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模n的函数。
  2、空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关,它随着n的增大而增大,当n较大时,将占用较多的存储单元,例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
  3、在做算法分析时,主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看,更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.

六、相关术语

  1)稳定:如果a原本在b前面,而a=b,排序之后a仍然在b的前面;
  2)不稳定:如果a原本在b的前面,而a=b,排序之后a可能会出现在b的后面;
  3)内排序:所有排序操作都在内存中完成;
  4)外排序:由于数据太大,因此把数据放在磁盘中,而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行;
  5)时间复杂度: 一个算法执行所耗费的时间。
  6)空间复杂度:运行完一个程序所需内存的大小。
  7)n: 数据规模
  8)k: “桶”的个数
  9)In-place:    不占用额外内存
  10)Out-place: 占用额外内存

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