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我们常说的算法时间复杂度和空间复杂度到底是什么?

我们常说的算法时间复杂度和空间复杂度到底是什么?

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前言

针对某一类问题的解决,我们可能需要借助算法来实现,实现的手段也可能是各式各样的。虽然最终都解决了问题,但是各个解决手段,也就是算法还是存在优劣之分的。

既然存在比较,那肯定就有一个标准供来参考,那么我们在评价一个算法的优劣时参考的标准是什么呢?

算法的优劣主要从它执行时所占用的「时间」和「空间」两个方面来进行评定,也就是我们常听到的「时间复杂度」和「空间复杂度」。

  • 时间复杂度:执行算法所需要的计算工作量,可以估算出程序对处理器的使用程度。
  • 空间复杂度:执行当前算法所需要的内存空间,可以估算出程序对处理器的使用程度。

时间复杂度

谈到是时间复杂度,我们很多人的第一反应就是将算法执行一遍,打印出其执行的时间就是它所消耗的时间,其实这样是不可行的,因为:

  • 解决一个问题的算法可能有很多种,一一实现的工作量无疑是巨大的,得不偿失;
  • 不同计算机的软、硬件环境不同,即便使用同一台计算机,不同时间段其系统环境也不相同,程序的运行时间很可能会受影响,严重时甚至会导致误判。

实际场景中,我们更喜欢用一个估值来表示算法所编程序的运行时间。所谓估值,即估计的、并不准确的值。注意,虽然估值无法准确的表示算法所编程序的运行时间,但它的得来并非凭空揣测,需要经过缜密的计算后才能得出。

表示一个算法所编程序运行时间的多少,用的并不是准确值(事实上也无法得出),而是根据合理方法得到的预估值。

我们一般用“大 O 符号表示法”来表示时间复杂度:T(n) = O(f(n))

  • n 是影响复杂度变化的因子
  • f(n) 是复杂度具体的算法
  • O 表示正比例关系

这个公式的全称是:算法的渐进时间复杂度

大 O 符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的,它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的。

我们来看一个常见的例子:

for(let index = 0; index < n; index++){
	console.log(index);
}
复制代码

可以看到,这段程序中仅有 2 行代码,其中:

  • for 循环从 index 的值为 0 一直逐增至 n(注意,循环退出的时候 index 值为 n),因此 for 循环语句执行了 n+1 次;
  • 而循环内部仅有一条语句,index 的值每增 1 该语句就执行一次,一直到 index 的值为 n-1,因此,打印语句一共执行了 n 次。

因此,整段代码中所有语句共执行了 (n+1)+n 次,即 2n+1 次。数据结构中,每条语句的执行次数,又被称为该语句的频度。整段代码的总执行次数,即整段代码的频度。

常见的时间复杂度量级

  • 常数阶O(1)
  • 对数阶O(logN)
  • 线性阶O(n)
  • 平方阶O(n^2)
  • 立方阶O(n^3)
  • K次方阶O(n^k)
  • 指数阶(2^n)

这里仅介绍了以最坏情况下的频度作为时间复杂度,而在某些实际场景中,还可以用最好情况下的频度和最坏情况下的频度的平均值来作为算法的时间复杂度。

空间复杂度

和时间复杂度类似,一个算法的空间复杂度,也常用大 O 记法表示。空间复杂度比较常用的有:

  • O(1)
  • O(n)
  • O(n²)

要知道每一个算法所编写的程序,运行过程中都需要占用大小不等的存储空间,例如:

  • 程序代码本身所占用的存储空间;

  • 程序中如果需要输入输出数据,也会占用一定的存储空间;

  • 程序在运行过程中,可能还需要临时申请更多的存储空间。

首先,程序自身所占用的存储空间取决于其包含的代码量,如果要压缩这部分存储空间,就要求我们在实现功能的同时,尽可能编写足够短的代码。

程序运行过程中输入输出的数据,往往由要解决的问题而定,即便所用算法不同,程序输入输出所占用的存储空间也是相近的。

事实上,对算法的空间复杂度影响最大的,往往是程序运行过程中所申请的临时存储空间。不同的算法所编写出的程序,其运行时申请的临时存储空间通常会有较大不同。

如果程序所占用的存储空间和输入值无关,则该程序的空间复杂度就为 O(1);反之,如果有关,则需要进一步判断它们之间的关系:

  • 如果随着输入值 n 的增大,程序申请的临时空间成线性增长,则程序的空间复杂度用 O(n) 表示;
  • 如果随着输入值 n 的增大,程序申请的临时空间成 n2 关系增长,则程序的空间复杂度用 O(n2) 表示;
  • 如果随着输入值 n 的增大,程序申请的临时空间成 n3 关系增长,则程序的空间复杂度用 O(n3) 表示;

比如:

let m = 0;
for(let index = 0; index < 9999; index++){
	m++;
}
复制代码

虽然 m 的值随着 index 的增加在一直变化,可是并未产生新的变量,即程序所占用的空间并未发生变化,所以,它的空间复杂度为 O(1)。

总结

  1. 时间复杂度和空间复杂度都是一种经过严谨推算得出的预估值,并不能代表实际情况。

  2. 时间复杂度和空间复杂度代表的是一种趋势。

  3. 我们一般情况下所说的时间复杂度和空间复杂度,都是最坏情况下的执行趋势,实际情况可能比预估的要好。

  4. 多数业务场景下,一个好的算法往往更注重的是时间复杂度的比较,而空间复杂度只要在一个合理的范围内就可以。

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