写在前面：偶然翻到一篇关于权重频度挖掘的文献，之前研究的效用挖掘其实也是权重度量的一种表现，但在这种情况下很少会与支持度结合起来（也有对结合的研究），这次正好借着这篇文献了解一下权重还有哪些表现形式

Weighted frequent sequential pattern mining

定义

• 因为是序列挖掘，所以默认规则是 同一个时间点上 发生的事件之间是没有排序关系，而在不同时间点上发生的事件集之间是有排序关系

• 将权重（weight）进行具象化有三种方式：

  • 效用值计算：利润越高的商品权重越大
  • 忽略现实中pattern的意义，自定义权重：重要的客户购买低利润的商品
  • 异常值：网络安全中的异常检测，很少但权重值很高（本文研究方向）

• 支持度权重（weighted support）：类似于以往的效用值，项集的支持度权重计算公式为

  $$Weight_{is}(itemset) = \frac{\sum_{item \in itemset}Weight(item)}{\mid itemset \mid}，$$

  需要注意的是 $\mid itemset \mid$ 不是项集的长度，而是项集内包含不同项的个数；同理，(子)序列的支持度权重计算公式为

  $$Weight_{seq}(P) = \frac{\sum_{itemset \in P}Weight_{is}(itemset)}{length(P)}，$$

  其中 $\mid P \mid$ 是指该(子)序列中包含多少个项集

• 数据集中最大权重值（total sequence maximum weight）：使用最大权重值作为一个平衡量，避免因为支持度和项集大小的变化失衡，计算公式为

  $$tsmw(D) = \sum_{SID \in D}LMaxW(SID)，$$

  其中 $LMaxW(SID)$ 表示在当前标号为 $SID$ 序列包含的所有项中最大的那个权重值

• 相对支持度权重（relative weighted support）：对于(子)序列计算相对支持度权重能够使得阈值设置更加合理，得到的结果可信度更高，计算公式为

  $$WSUP(P, D) = \frac{Weight_{seq}(p) \times support(P)}{tsmw(D)}.$$

• 项集首次出现位置（last itemset index of the first occurrence）：用作记录对应项集在每条序列中首次出现的位置，为了节省空间，只记录出现情况

• 可扩展列表：对于标号为$SID$的序列，(子)序列 $P$ 的可扩展项用 $LeftItemSet(P, SID)$ 记录，且用 $LeftVec(P)$ 记录这些在不同序列中可扩展项的数量

• 潜在出现列表（probable occurrence list）：指的是那些可以作为当前序列的扩展项组成的多个列表（不同序列上有不同扩展项），记为 $POL_{+n}(P)$，$n$ 表示当前允许扩展多少个项（$\mid LeftVec(P) \mid$）

• 支持度权重上边界（possible weighted support）：该值的作用和之前的上边界值WSpanCond和IUACond是一样的，但表现会更紧凑，对于(子)序列 $P$ 的单个扩展的预估值计算公式为

  $$Contrib(P, SID, n) = \frac{length(P) \times Weight_{seq}(P) + n \times LMaxW(SID)}{length(P) + n}，$$

  所以，支持度权重上边界 $PWS_{+n}(P)$=$\sum_{\forall_{SID \in POL_{+n}(P)}} Contrib(P, SID, n)$ 的计算公式为

  $$\forall_{SID \in POL_{+n}(P)}\sum\frac{length(P) \times Weight_{seq}(P) + n \times LMaxW(SID)}{length(P) + n}.$$

策略

Maximum possible weighted support pruning strategy

根据定义中给出的 possible weighted support (PWS) 上边界值，取对于(子)序列 $P$ 的所有扩展预估值，取最大的记为 $MaxPWS_{abs}$，然后为了使结果更加可靠，取相对值 $MaxPWS_{rel}$ = $\frac{MaxPWS_{abs}}{tsmw(D)}$；当 $MaxPWS_{rel} < \delta$ 时，我们可以根据反单调性认为 $P$ 不存在符合条件的超集，证明过程在文献中有详细推理

伪代码

MaxPWS procedure

Ps. 文献后续还讲解了对MaxPWS的优化流程

I- and S-extension procedure