Leetcode - 最小好进制这是我参与更文挑战的第18天，活动详情查看更文挑战 https://juejin.cn/

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题目描述

对于给定的整数 n, 如果n的k（k>=2）进制数的所有数位全为1，则称 k（k>=2）是 n 的一个好进制。

以字符串的形式给出 n, 以字符串的形式返回 n 的最小好进制。

示例 1：

输入："13"
输出："3"
解释：13 的 3 进制是 111。

示例 2：

输入："4681"
输出："8"
解释：4681 的 8 进制是 11111。

示例 3：

输入："1000000000000000000"
输出："999999999999999999"
解释：1000000000000000000 的 999999999999999999 进制是 11。

提示：

n的取值范围是 $[3, 10^{18}]$ 。
输入总是有效且没有前导 0。

解题思路

设 n 可以表示成位数为 $s+1$ ，进制为 k 的数，即 $(n)_{10}=(11…11)_{k}$ ，其中 $(a)_b$ 表示 $b$ 进制的数 $a$ 。那么根据任意进制转换为十进制的方法，我们有：

(11…11)_k=k^s+k^{s−1}+k^{s−2}+⋯+k+1=n

根据上面的等式，在 $s \geq 2$ 时，显然有 $n>k^s$ ，并且根据二项式定理可以得到 $n<(k+1)^s$ ，因此我们得到了解决这题的关键不等式：

∀s≥2,k^s<n<(k+1)^s

将两边同时开 $s$ 次方，得到：

k<n^{1/s}<(k+1)

这样当 $s \geq 2$ 时， $n^{1/s}$ 的整数部分即为 $k$ 的值。由于题目的限制条件，我们只需要在 $[2,59]$ 的范围内枚举 $s$ 即可

代码

C++代码

#define LL long long

class Solution {
public:
    string smallestGoodBase(string N) {
        // (11...11)k = k^{s} + k^{s-1} + ... + k^1 + k^0 = n
        // k^s < n < (k+1)^s
        // k < n^{1/s} < k+1
        
        LL n = stol(N);
        LL ans = n - 1;   // 将答案置为 s=1 的情况
        for (int s = 59; s >= 2; --s) {
            int k = pow(n, 1.0 / s);   // k 为 n^{1/s} 的整数部分
            if (k > 1) {    // 判断 k 是否是一个合法的进制
                LL sum = 1, mul = 1;   // 计算 (11...11)k 对应的十进制值
                for (int i = 1; i <= s; ++i) {
                    mul *= k;
                    sum += mul;
                }
                if (sum == n) {
                    ans = k;
                    break;
                }
            }
        }
        return to_string(ans);
    }
};