约数定理相关（知识整理+板子总结）

~~好叭，是两个简单的约数的定理，小学奥数水平~~

一个是约数定理，一个是约数和定理

感觉自己知识还是学得不系统啊……

acm都学到这了基础知识还不全……

思路来源

blog.csdn.net/piaocoder/a…

概念

由唯一分解定理 $n=p_{1}^{a_{1}}*p_{2}^{a_{2}}*...*p_{n}^{a_{n}}$

n的每个约数q，不妨在 $p_{1}$ $p_{2}$ ... $p_{n}$ 每个素因子前做个抉择，

是有还是没有这个因子 $p_{i}$ ，有的话有几个（下限为0个，上限为 $a_{i}$ 个）

故每个因子都有（ $a_{i}$ +1）种选择，

共有（ $a_{1}+1$ ）*（ $a_{2}+1$ ）*...*（ $a_{n}+1$ ）种选择，

每种选择对应唯一的一个约数，因为素因子两两互质

而对于式 $(p_{0}^0+p_{0}^1+...+p_{0}^{a_{0}})*(p_{1}^0+p_{1}^1+...+p_{1}^{a_{1}})*...*(p_{n}^0+p_{n}^1+...+p_{n}^{a_{n}})$

我们计算某一项的时候，从每一个括号里取一项，最后相乘出来的结果，

一定是某个约数，而且不同取法的约数两两不同，不重不漏得到所有约数的和

其实就是母函数的多项式相乘啦……

约数定理

$n=p_{1}^{a_{1}}*p_{2}^{a_{2}}*...*p_{n}^{a_{n}}$

定义：因子个数函数τ定义为正整数n的所有正因子个数，记为τ（n）

则τ（n）=（ $a_{1}+1$ ）*（ $a_{2}+1$ ）*...*（ $a_{n}+1$ ）

typedef long long ll;
ll prime[maxn],cnt;
//筛素数从略,cnt为素数个数  
ll fac_cnt(ll n)//约数个数 
{
	ll ans=1;
	for(int i=0;i<cnt;++i)
	{
		if(prime[i]*prime[i]>n)break;
		if(n%prime[i]==0)
		{
			int num=0;//prime[i]出现次数 
			while(n%prime[i]==0)
			num++,n/=prime[i];
		        ans*=(num+1);
                }
	}
	if(n>1)ans*=2;//n为出现一次的素因子 
	return ans;
}

约数和定理

$n=p_{1}^{a_{1}}*p_{2}^{a_{2}}*...*p_{n}^{a_{n}}$

定义：因子和函数σ定义为整数n的所有正因子之和，记为σ（n）

则σ（n）= $(p_{0}^0+p_{0}^1+...+p_{0}^{a_{0}})*(p_{1}^0+p_{1}^1+...+p_{1}^{a_{1}})*...*(p_{n}^0+p_{n}^1+...+p_{n}^{a_{n}})$

而由等比数列求和， $(p_{i}^0+p_{i}^1+...+p_{i}^{a_{i}})=\tfrac{p_{i}^{a_{i}+1}-1}{p_{i}-1}$

σ（n）= $\tfrac{p_{0}^{a_{0}+1}-1}{p_{0}-1}*\tfrac{p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}*...*\tfrac{p_{n}^{a_{n}+1}-1}{p_{n}-1}$

考虑到σ（n）比较大应该要取模mod

分子搞一下快速幂，分母搞一下逆元，可求

typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll prime[maxn],cnt;
//筛素数从略,cnt为素数个数  
//ll快速幂从略 
ll fac_sum(ll n)//约数和 
{
	ll ans=1;
	for(int i=0;i<cnt;++i)
	{
		if(prime[i]*prime[i]>n)break;
		if(n%prime[i]==0)
		{
			int num=0;//prime[i]出现次数 
			while(n%prime[i]==0)
			num++,n/=prime[i];
		(ans*=(modpow(prime[i],num+1,mod)-1)*modpow(prime[i]-1,mod-2,mod)%mod)%=mod;//前提mod是质数且与prime[i]-1互质 
                }
	}
	if(n>1)(ans*=(1+n)%mod)%=mod;//n为出现一次的素因子 
	return ans;
}