题目
给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例:
输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
LeetCode传送门: 64.最小路径和
解题
首先我们来展示一个时间复杂度为 O(2^(n+m-2))的糟糕算法，也就是我第一次的答案😂。
暴力法
思路是这样的从 (0，0) 点开始进行下一步分别走到点 (0,1) 和 (1,0) 然后接着向下走这样时间复杂度完美的变成了 2 的 n + m - 2 次方
/**
* @param {number[][]} grid
* @return {number}
*/
var minPathSum = function (grid) {
const { length: m } = grid
const { length: n } = grid[0]
// 默认走完全程总和是无穷大的
const sums = [Infinity]
goNext(grid, m, n, 0, 0, 0, sums)
return sums[0]
};
/**
* @param {number[][]} grid m * n 的网格
* @param {number} m 网格的行数
* @param {number} n 网格的列数
* @param {number} x x坐标
* @param {number} y y坐标
* @param {number} sum 当前路径的和
* @param {number[]} sums 走完全程最终结果
* @return {number}
*/
function goNext(grid, m, n, x, y, sum, sums) {
// 判断是否走完全程
if (x === n - 1 && y === m - 1) {
const res = sum + grid[y][x]
// 是否比最小的结果还要小如果是则保留
sums[0] = Math.min(sums[0], res)
// console.log(sums[0])
}
//累计走过的路程
sum += grid[y][x]
//越界判断和是否超过最小路程
if (x + 1 < n && sum < sums[0]) {
// 不越界的情况下接着向右走
goNext(grid, m, n, x + 1, y, sum, sums)
}
//越界判断和是否超过最小路程
if (y + 1 < m && sum < sums[0]) {
// 不越界的情况下接着向下走
goNext(grid, m, n, x, y + 1, sum, sums)
}
}
给大家个数据感受下这个算法糟糕的性能
data 打开这个网页然后在body中单击三下鼠标左键就能全部选中数据然后 control + c 就能复制好这个数据了（4万个数据）
用这个解法就是完全算不出来，大家可以 console.log 一下我的计算机路径总和最多算到 1634 我就算不出更小的了，一直不动。
接下里给大家介绍一下动态规划的解法
动态规划
思路是这样的:
用一个 m x n 的数组来记录网格上从（0，0）点出发到达的每一个点所经历的最小路径和，记录到最后一个点（m-1,n-1）的时候也就求出了答案。
那么怎么知道达到每个点所需要的经过的最小路径呢？
其实要到达任意一个点最多只有2种可能：
1、向下走 （从上面走下来）
2、向右走 （从左边走过来）
我们只需要选择这两种情况路径和最小的一种即可达到目的
我们来分析一下这个网格上所有的点其实可以分为三个部分：
1、第一个部分就是起点 (0,0) 毫无疑问经过 (0,0) 点经过的路程就是 grid[0][0] 本身。
2、第二个部分就是 i = 0 的点 和 j = 0 的点 这个部分 当 i = 0 时表示的是左边界说明不可能从左边达到该点只能从上往下走，当 j = 0 时表示的是顶部说明不可能从上边到达这些点只可能从左边到达。所以我们在计算的时候只需要考虑一个方向就是 左边最靠近自己的路程 或者 右边最靠近自己路程 加上本身的路程即可。
3、第三个部分的点，也就是除了上面两个部分所说的所有点，都能从两个方向到达即既能从上面到达又能从左边到达。所以我们在计算的时候只需要选两个方向上路程较小的方向即可。
这样我们就能够求出经历所有的点的最小路程。
让我们来看下代码
var minPathSum = function (grid) {
const { length: m } = grid,
{ length: n } = grid[0]
// 新建动态规划数组记录网格上从（0，0）点出发到达的每一个点所经历的最小路径和。
const dp = []
// 遍历行
for (let i = 0; i < m; i++) {
// 完善 dp 的子元素
dp[i] = []
// 遍历列
for (let j = 0; j < n; j++) {
// 如果是起点那么经过的路程就是grid[0][0]
if (i === 0 && j === 0) {
dp[0][0] = grid[0][0]
//如果是左边界那么直接本身的路程加上top方向上的路程即可
} else if (i === 0) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
//如果是顶部那么直接本身的路程加上left方向上的路程即可
} else if (j === 0) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
//剩下的点都有可能有2种方式达到所以择优选择一个最小的加上本身的路程即可
} else {
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
}
}
}
// 返回答案
return dp[m - 1][n - 1]
};
再拿刚才那个数据来算一下可以瞬间算完 4 万个点到最后一个点所需要的最小路径是 823 。
是不是很简单😬，我们来看下提交后的结果吧。
提交测试
才击败了 69% 的 js 算法 嘿嘿 见笑啦。
这个算法的时间复杂度为 O(mxn) 已经很快了
