【DP】最长公共子序列｜Java 刷题打卡

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一、题目概述

LeetCode 1143. 最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。


示例 2:

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc"，它的长度为 3。


示例 3:

输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。

题干分析

**最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）**是一道非常经典的面试题目，因为它的解法是典型的二维动态规划。

这个算法稍微加改造就可以用于解决其他问题，所以说 LCS 算法是值得掌握的。

动态规划思路：

1. 第一步：一定要明确 dp 数组的含义
2. 定义 base case
3. 找状态转移方程

1. 第一步：一定要明确 dp 数组的含义。

对于两个字符串的动态规划问题，套路是通用的，一般都需要一个二维 dp 数组。

比如对于字符串 s1 和 s2，一般来说要构造一个这样的 DP table：

dp[i][j] 含义是：对于 s1[0..i - 1] 和 s2[0..j - 1]，它们的 LCS 长度是 dp[i][j]。

比如上图这个例子，dp[2][4] = 2 含义就是：对于 "ac" 和 "babc"，它们的 LCS 长度是2。根据这个定义，最终想得到的答案应该是 dp[3][6]。

2. 定义 base case

专门让索引为 0 的行和列表示空串，dp[0][..] 和 dp[..][0] 都应该初始化为 0，这就是 base case。

比如按照刚才 dp 数组的定义，dp[0][3] = 0 的含义是：对于空字符串 "" 和 "bab"，其 LCS 的长度为 0。

因为有一个字符串是空串，它们的最长公共子序列的长度显然应该是 0

3. 找状态转移方程

做 “选择”。

求 s1 和 s2 的最长公共子序列，设：子序列为 lcs。

那么对于 s1 和 s2 中的每个字符，有什么选择？

很简单，两种选择，要么在 lcs 中，要么不在。

如图：

对于 s1[i] 和 s2[j]，怎么知道它们到底在不在 lcs 中？

可以很容易想到的是，如果某个字符在 lcs 中，那么这个字符肯定同时存在与 s1 和 s2 中，因为 lcs 是最长公共子序列。

dp(i, j) 表示 s1[0...i] 和 s2[0...j] 中最长公共子序列的长度，这样就可以找到状态转移关系：

1. 如果 s1[i] == s2[j]

说明这个公共字符一定在 lcs 中，如果知道了 s1[0..i-1] 和 s2[0..j-1] 中的 lcs 长度，再加 1 就是 s1[0..i] 和 s2[0..j] 中 lcs 的长度。 根据 dp 函数的定义，如下：

if (str1[i] == str2[j]) dp[i][j] = dp(i - 1, j - 1) + 1;

2. 如果 s1[i] != s2[j]

说明 s1[i] 和 s2[j] 这两个字符至少有一个不在 lcs 中，那到底是哪个字符不在 lcs 中呢？ 根据 dp 函数的定义，如下：

if (str1[i] != str2[j]) dp[i][j] = Math.max(dp(i - 1, j), dp(i, j - 1));

明白了状态转移方程，可以直接写出解法。

二、思路实现

思路：

1. 二维数组 dp
2. dp 压缩

public class LeetCode_1143 {
    // Time: O(n ^ 2), Space: O(m * n), Faster: 72.28%
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {

        int m = text1.length(), n = text2.length();
        // 定义： 对于 s1[0..i-1] 和 s2[0..j-1], 它们的 lcs 长度是 dp[i][j]
        // base case: dp[0][..] = dp[..][0] = 0 已初始化
        int [][] dp = new int[m + 1][n + 1];

        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                // 状态转移逻辑
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}