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应用「博弈论」分析「先手必胜态」序列具有何种性质|Java 刷题打卡

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题目描述

这是 LeetCode 上的 810. 黑板异或游戏 ,难度为 困难

Tag : 「博弈论」、「数学」、「异或」

黑板上写着一个非负整数数组 nums[i] 。

Alice 和 Bob 轮流从黑板上擦掉一个数字,Alice 先手。如果擦除一个数字后,剩余的所有数字按位异或运算得出的结果等于 0 的话,当前玩家游戏失败。 (另外,如果只剩一个数字,按位异或运算得到它本身;如果无数字剩余,按位异或运算结果为 0。)

换种说法就是,轮到某个玩家时,如果当前黑板上所有数字按位异或运算结果等于 0,这个玩家获胜。

假设两个玩家每步都使用最优解,当且仅当 Alice 获胜时返回 true。

示例:

输入: nums = [1, 1, 2]

输出: false

解释: 
Alice 有两个选择: 擦掉数字 1 或 2。
如果擦掉 1, 数组变成 [1, 2]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 2 = 3。那么 Bob 可以擦掉任意数字,因为 Alice 会成为擦掉最后一个数字的人,她总是会输。
如果 Alice 擦掉 2,那么数组变成[1, 1]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 1 = 0。Alice 仍然会输掉游戏。
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提示:

  • 1 <= N <= 1000
  • 0 <= nums[i] <= 2162^{16}

基本分析

这是一道「博弈论」题。

如果没接触过博弈论,其实很难想到,特别是数据范围为 10310^3,很具有迷惑性。

如果接触过博弈论,对于这种「判断先手后手的必胜必败」的题目,博弈论方向是一个优先考虑的方向。

根据题意,如果某位玩家在操作前所有数值异或和为 00,那么该玩家胜利。要我们判断给定序列时,先手是处于「必胜态」还是「必败态」,如果处于「必胜态」返回 True,否则返回 False

对于博弈论的题目,通常有两类的思考方式:

  1. 经验分析:见过类似的题目,猜一个性质,然后去证明该性质是否可推广。
  2. 状态分析:根据题目给定的规则是判断「胜利」还是「失败」来决定优先分析「必胜态」还是「必败态」时具有何种性质,然后证明性质是否可推广。

博弈论

对于本题,给定的是判断「胜利」的规则(在给定序列的情况下,如果所有数值异或和为 00 可立即判断胜利,其他情况无法立即判断胜负),那么我们应该优先判断何为「先手必胜态」,如果不好分析,才考虑分析后手的「必败态」。

接下来是分情况讨论:

1. 如果给定的序列异或和为 00,游戏开始时,先手直接获胜:

由此推导出性质一:给定序列 nums 的异或和为 00,先手处于「必胜态」,返回 True

2. 如果给定序列异或和不为 00,我们需要分析,先手获胜的话,序列会满足何种性质:

显然如果要先手获胜,则需要满足「先手去掉一个数,剩余数值异或和必然不为 00;同时后手去掉一个数后,剩余数值异或和必然为 00」。

换句话说,我们需要分析什么情况下「经过一次后手操作」后,序列会以上述情况 11 的状态,回到先手的局面

也就是反过来分析想要出现「后手必败态」,序列会有何种性质。

假设后手操作前的异或和为 SumSumSum0Sum \neq 0),「后手必败态」意味着去掉任意数字后异或和为 00

同时根据「相同数值异或结果为 00」的特性,我们知道去掉某个数值,等价于在原有异或和的基础上异或上这个值。

则有:

Sum=Sumnums[i]=0Sum' = Sum ⊕ nums[i] = 0

由于是「后手必败态」,因此 ii 取任意一位,都满足上述式子。

则有:

Sumnums[0]=...=Sumnums[k]=...=Sumnums[n1]=0Sum ⊕ nums[0] = ... = Sum ⊕ nums[k] = ... = Sum ⊕ nums[n - 1] = 0

同时根据「任意数值与 00 异或数值不变」的特性,我们将每一项进行异或:

(Sumnums[0])...(Sumnums[k])...(Sumnums[n1])=0(Sum ⊕ nums[0]) ⊕ ... ⊕ (Sum ⊕ nums[k]) ⊕ ... ⊕ (Sum ⊕ nums[n - 1]) = 0

根据交换律进行变换:

(SumSum...Sum)(nums[0]...nums[k]...nums[n1])=0(Sum ⊕ Sum ⊕ ... ⊕ Sum) ⊕ (nums[0] ⊕ ... ⊕ nums[k] ⊕ ... ⊕ nums[n - 1]) = 0

再结合 SumSum 为原序列的异或和可得:

(SumSum...Sum)Sum=0,Sum0(Sum ⊕ Sum ⊕ ... ⊕ Sum) ⊕ Sum = 0 , Sum \neq 0

至此,我们分析出当处于「后手必败态」时,去掉任意一个数值会满足上述式子。

根据「相同数值偶数次异或结果为 00」的特性,可推导出「后手必败态」会导致交回到先手的序列个数为偶数,由此推导后手操作前序列个数为奇数,后手操作前一个回合为偶数。

由此推导出性质二:只需要保证先手操作前序列个数为偶数时就会出现「后手必败态」,从而确保「先手必胜态」。

代码:

class Solution {
    public boolean xorGame(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for (int i : nums) sum ^= i;
        return sum == 0 || nums.length % 2 == 0;
    }
}
复制代码
  • 时间复杂度:O(n)O(n)
  • 空间复杂度:O(1)O(1)

总结

事实上,在做题的时候,我也是采取「先假定奇偶性,再证明」的做法,因为这样比较快。

但「假定奇偶性」这一步是比较具有跳跃性的,这有点像我前面说到的「经验分析解法」,而本题解证明没有做任何的前置假定,单纯从「先手必胜态」和「后手必败态」进行推导,最终推导出「先手序列偶数必胜」的性质 ,更符合前面说到的「状态分析解法」。

两种做法殊途同归,在某些博弈论问题上,「经验分析解法」可以通过「归纳」&「反证」很好分析出来,但这要求选手本身具有一定的博弈论基础;而「状态分析解法」则对选手的题量要求低些,逻辑推理能力高些。

两种方法并无优劣之分,都是科学严谨的做法。


最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.810 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先将所有不带锁的题目刷完。

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