应用「博弈论」分析「先手必胜态」序列具有何种性质｜Java 刷题打卡

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题目描述

这是 LeetCode 上的 810. 黑板异或游戏 ，难度为 困难。

Tag : 「博弈论」、「数学」、「异或」

黑板上写着一个非负整数数组 nums[i] 。

Alice 和 Bob 轮流从黑板上擦掉一个数字，Alice 先手。如果擦除一个数字后，剩余的所有数字按位异或运算得出的结果等于 0 的话，当前玩家游戏失败。 (另外，如果只剩一个数字，按位异或运算得到它本身；如果无数字剩余，按位异或运算结果为 0。）

换种说法就是，轮到某个玩家时，如果当前黑板上所有数字按位异或运算结果等于 0，这个玩家获胜。

假设两个玩家每步都使用最优解，当且仅当 Alice 获胜时返回 true。

示例：

输入: nums = [1, 1, 2]

输出: false

解释: 
Alice 有两个选择: 擦掉数字 1 或 2。
如果擦掉 1, 数组变成 [1, 2]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 2 = 3。那么 Bob 可以擦掉任意数字，因为 Alice 会成为擦掉最后一个数字的人，她总是会输。
如果 Alice 擦掉 2，那么数组变成[1, 1]。剩余数字按位异或得到 1 XOR 1 = 0。Alice 仍然会输掉游戏。

提示：

• 1 <= N <= 1000
• 0 <= nums[i] <= $2^{16}$

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基本分析

这是一道「博弈论」题。

如果没接触过博弈论，其实很难想到，特别是数据范围为 $10^3$，很具有迷惑性。

如果接触过博弈论，对于这种「判断先手后手的必胜必败」的题目，博弈论方向是一个优先考虑的方向。

根据题意，如果某位玩家在操作前所有数值异或和为 $0$，那么该玩家胜利。要我们判断给定序列时，先手是处于「必胜态」还是「必败态」，如果处于「必胜态」返回 True，否则返回 False。

对于博弈论的题目，通常有两类的思考方式：

1. 经验分析：见过类似的题目，猜一个性质，然后去证明该性质是否可推广。
2. 状态分析：根据题目给定的规则是判断「胜利」还是「失败」来决定优先分析「必胜态」还是「必败态」时具有何种性质，然后证明性质是否可推广。

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博弈论

对于本题，给定的是判断「胜利」的规则（在给定序列的情况下，如果所有数值异或和为 $0$ 可立即判断胜利，其他情况无法立即判断胜负），那么我们应该优先判断何为「先手必胜态」，如果不好分析，才考虑分析后手的「必败态」。

接下来是分情况讨论：

1. 如果给定的序列异或和为 $0$，游戏开始时，先手直接获胜：

由此推导出性质一：给定序列 nums 的异或和为 $0$，先手处于「必胜态」，返回 True。

2. 如果给定序列异或和不为 $0$，我们需要分析，先手获胜的话，序列会满足何种性质：

显然如果要先手获胜，则需要满足「先手去掉一个数，剩余数值异或和必然不为 $0$；同时后手去掉一个数后，剩余数值异或和必然为 $0$」。

换句话说，我们需要分析什么情况下「经过一次后手操作」后，序列会以上述情况 $1$ 的状态，回到先手的局面。

也就是反过来分析想要出现「后手必败态」，序列会有何种性质。

假设后手操作前的异或和为 $Sum$（$Sum \neq 0$），「后手必败态」意味着去掉任意数字后异或和为 $0$。

同时根据「相同数值异或结果为 $0$」的特性，我们知道去掉某个数值，等价于在原有异或和的基础上异或上这个值。

则有：

$Sum' = Sum ⊕ nums[i] = 0$

由于是「后手必败态」，因此 $i$ 取任意一位，都满足上述式子。

则有：

$Sum ⊕ nums[0] = ... = Sum ⊕ nums[k] = ... = Sum ⊕ nums[n - 1] = 0$

同时根据「任意数值与 $0$ 异或数值不变」的特性，我们将每一项进行异或：

$(Sum ⊕ nums[0]) ⊕ ... ⊕ (Sum ⊕ nums[k]) ⊕ ... ⊕ (Sum ⊕ nums[n - 1]) = 0$

根据交换律进行变换：

$(Sum ⊕ Sum ⊕ ... ⊕ Sum) ⊕ (nums[0] ⊕ ... ⊕ nums[k] ⊕ ... ⊕ nums[n - 1]) = 0$

再结合 $Sum$ 为原序列的异或和可得：

$(Sum ⊕ Sum ⊕ ... ⊕ Sum) ⊕ Sum = 0 , Sum \neq 0$

至此，我们分析出当处于「后手必败态」时，去掉任意一个数值会满足上述式子。

根据「相同数值偶数次异或结果为 $0$」的特性，可推导出「后手必败态」会导致交回到先手的序列个数为偶数，由此推导后手操作前序列个数为奇数，后手操作前一个回合为偶数。

由此推导出性质二：只需要保证先手操作前序列个数为偶数时就会出现「后手必败态」，从而确保「先手必胜态」。

代码：

class Solution {
    public boolean xorGame(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for (int i : nums) sum ^= i;
        return sum == 0 || nums.length % 2 == 0;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

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总结

事实上，在做题的时候，我也是采取「先假定奇偶性，再证明」的做法，因为这样比较快。

但「假定奇偶性」这一步是比较具有跳跃性的，这有点像我前面说到的「经验分析解法」，而本题解证明没有做任何的前置假定，单纯从「先手必胜态」和「后手必败态」进行推导，最终推导出「先手序列偶数必胜」的性质 ，更符合前面说到的「状态分析解法」。

两种做法殊途同归，在某些博弈论问题上，「经验分析解法」可以通过「归纳」&「反证」很好分析出来，但这要求选手本身具有一定的博弈论基础；而「状态分析解法」则对选手的题量要求低些，逻辑推理能力高些。

两种方法并无优劣之分，都是科学严谨的做法。

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最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.810 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。

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