一些通过数学分析解决的算法题汇总

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我发现最近经常会遇到一些需要通过数学分析去解决的问题,做的时候想着各种方法,然后看到题解,发现可以用数学分析的方式,找到非常快的解决办法,整个人就emmmmm了,所以这里开这篇博文,用来记录自己碰到的可以用数学分析的方式解决的算法问题,不断更新。

“树根”相关问题

“树根”在维基百科的定义如下:

在数学中,数根(又称位数根或数字根Digital root)是自然数的一种性质,换句话说,每个自然数都有一个数根。数根是将一正整数的各个位数相加(即横向相加),若加完后的值大于10的话,则继续将各位数进行横向相加直到其值小于十为止,或是,将一数字重复做数字和,直到其值小于十为止,则所得的值为该数的数根。例如54817的数根为7,因为5+4+8+1+7=2525大于10则再加一次,2+5=77小于10,则7为54817的数根

那么“树根”又有什么用途呢?

数根可以计算模运算的同余,对于非常大的数字的情况下可以节省很多时间。数字根可作为一种检验计算正确性的方法。例如,两数字的和的数根等于两数字分别的数根的和。另外,数根也可以用来判断数字的整除性,如果数根能被3或9整除,则原来的数也能被3或9整除。

接下来讨论我们怎么求出树根。我们把 1 到 30 的树根列出来。

原数: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
数根: 1 2 3 4 5 6 7 8 9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3 
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可以发现数根 9 个为一组, 1 - 9 循环出现。我们需要做就是把原数映射到树根就可以,循环出现的话,想到的就是取余了。结合这个规律,对于给定的 n 有三种情况。

  • n 是 0 ,数根就是 0。
  • n 不是 9 的倍数,数根就是 n 对 9 取余,即 n mod 9。
  • n 是 9 的倍数,数根就是 9。

我们可以把两种情况统一起来,我们将给定的数字减 1,相当于原数整体向左偏移了 1,然后再将得到的数字对 9 取余,最后将得到的结果加 1 即可。原数是 n,树根就可以表示成 (n-1) mod 9 + 1,可以结合下边的过程理解。

原数: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
偏移: 0 1 2 3 4 5 6 7 8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
取余: 0 1 2 3 4 5 6 7 8  0  1  2  3  4  5  6  7  8  0  1  2  3  4  5  6  7  8  0  1  2  
数根: 1 2 3 4 5 6 7 8 9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3  4  5  6  7  8  9  1  2  3 
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所以,求一个数的树根,一句代码就可以实现,即(num - 1) % 9 + 1;,这里给出一个题目,一句代码即可。
在这里插入图片描述

public int addDigits(int num) {
    return (num - 1) % 9 + 1;
}
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计算阶乘0的个数

这个我之前单独写过一篇文章,这里就不赘述了,地址

四平方和定理

四平方和定理,意思是任何正整数都能表示成四个平方数的和。少于四个平方数的,像 12 12 12 这种,可以补一个 0 0 0 也可以看成四个平方数, 12 = 4 + 4 + 4 + 0 12 = 4 + 4 + 4 + 0 12=4+4+4+0。知道了这个定理,对于题目要找的解,其实只可能是 1 , 2 , 3 , 4 1, 2, 3, 4 1,2,3,4 其中某个数。

Legendre’s three-square theorem ,这个定理表明,如果正整数 n 被表示为三个平方数的和,那么 n n n 不等于 4 a ∗ ( 8 b + 7 ) 4^a*(8b+7) 4a∗(8b+7), a a a 和 b b b 都是非负整数。换言之,如果 n = = 4 a ∗ ( 8 b + 7 ) n == 4^a*(8b+7) n==4a∗(8b+7) ,那么他一定不能表示为三个平方数的和,同时也说明不能表示为一个、两个平方数的和,因为如果能表示为两个平方数的和,那么补个 0 0 0,就能凑成三个平方数的和了。

一个、两个、三个都排除了,所以如果 n = = 4 a ∗ ( 8 b + 7 ) n == 4^a*(8b+7) n==4a∗(8b+7),那么 n n n 只能表示成四个平方数的和了。所以代码的话,我们采取排除的方法。

  • 首先考虑答案是不是 1 1 1,也就是判断当前数是不是一个平方数。
  • 然后考虑答案是不是 4 4 4,也就是判断 n 是不是等于 4 a ∗ ( 8 b + 7 ) 4^a*(8b+7) 4a∗(8b+7)。
  • 然后考虑答案是不是 2 2 2,当前数依次减去一个平方数,判断得到的差是不是平方数。
  • 以上情况都排除的话,答案就是 3 3 3。

在这里插入图片描述

public int numSquares(int n) {
    if (isSquare(n)) {
        return 1;
    }

    int temp = n;
    while (temp % 4 == 0) {
        temp /= 4;
    }
    if (temp % 8 == 7) {
        return 4;
    }

    for (int i = 1; i * i < n; i++) {
        if (isSquare(n - i * i)) {
            return 2;
        }
    }

    return 3;
}

private boolean isSquare(int n) {
    int sqrt = (int) Math.sqrt(n);
    return sqrt * sqrt == n;
}
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