写在前面
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我发现最近经常会遇到一些需要通过数学分析去解决的问题，做的时候想着各种方法，然后看到题解，发现可以用数学分析的方式，找到非常快的解决办法，整个人就emmmmm了，所以这里开这篇博文，用来记录自己碰到的可以用数学分析的方式解决的算法问题，不断更新。
“树根”相关问题
“树根”在维基百科的定义如下：
在数学中，数根(又称位数根或数字根Digital root)是自然数的一种性质，换句话说，每个自然数都有一个数根。数根是将一正整数的各个位数相加（即横向相加），若加完后的值大于10的话，则继续将各位数进行横向相加直到其值小于十为止，或是，将一数字重复做数字和，直到其值小于十为止，则所得的值为该数的数根。例如54817的数根为7，因为5+4+8+1+7=25，25大于10则再加一次，2+5=7，7小于10，则7为54817的数根。
那么“树根”又有什么用途呢？
数根可以计算模运算的同余，对于非常大的数字的情况下可以节省很多时间。数字根可作为一种检验计算正确性的方法。例如，两数字的和的数根等于两数字分别的数根的和。另外，数根也可以用来判断数字的整除性，如果数根能被3或9整除，则原来的数也能被3或9整除。
接下来讨论我们怎么求出树根。我们把 1 到 30 的树根列出来。
原数: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
数根: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3
可以发现数根 9 个为一组， 1 - 9 循环出现。我们需要做就是把原数映射到树根就可以，循环出现的话，想到的就是取余了。结合这个规律，对于给定的 n 有三种情况。
- n 是 0 ，数根就是 0。
- n 不是 9 的倍数，数根就是 n 对 9 取余，即 n mod 9。
- n 是 9 的倍数，数根就是 9。
我们可以把两种情况统一起来，我们将给定的数字减 1，相当于原数整体向左偏移了 1，然后再将得到的数字对 9 取余，最后将得到的结果加 1 即可。原数是 n，树根就可以表示成 (n-1) mod 9 + 1，可以结合下边的过程理解。
原数: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
偏移: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
取余: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2
数根: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3
所以，求一个数的树根，一句代码就可以实现，即(num - 1) % 9 + 1;，这里给出一个题目，一句代码即可。
public int addDigits(int num) {
return (num - 1) % 9 + 1;
}
计算阶乘0的个数
这个我之前单独写过一篇文章，这里就不赘述了，地址。
四平方和定理
四平方和定理，意思是任何正整数都能表示成四个平方数的和。少于四个平方数的，像 12 12 12 这种，可以补一个 0 0 0 也可以看成四个平方数， 12 = 4 + 4 + 4 + 0 12 = 4 + 4 + 4 + 0 12=4+4+4+0。知道了这个定理，对于题目要找的解，其实只可能是 1 , 2 , 3 , 4 1, 2, 3, 4 1,2,3,4 其中某个数。
Legendre’s three-square theorem ，这个定理表明，如果正整数 n 被表示为三个平方数的和，那么 n n n 不等于 4 a ∗ ( 8 b + 7 ) 4^a*(8b+7) 4a∗(8b+7)， a a a 和 b b b 都是非负整数。换言之，如果 n = = 4 a ∗ ( 8 b + 7 ) n == 4^a*(8b+7) n==4a∗(8b+7) ，那么他一定不能表示为三个平方数的和，同时也说明不能表示为一个、两个平方数的和，因为如果能表示为两个平方数的和，那么补个 0 0 0，就能凑成三个平方数的和了。
一个、两个、三个都排除了，所以如果 n = = 4 a ∗ ( 8 b + 7 ) n == 4^a*(8b+7) n==4a∗(8b+7)，那么 n n n 只能表示成四个平方数的和了。所以代码的话，我们采取排除的方法。
- 首先考虑答案是不是 1 1 1，也就是判断当前数是不是一个平方数。
- 然后考虑答案是不是 4 4 4，也就是判断 n 是不是等于 4 a ∗ ( 8 b + 7 ) 4^a*(8b+7) 4a∗(8b+7)。
- 然后考虑答案是不是 2 2 2，当前数依次减去一个平方数，判断得到的差是不是平方数。
- 以上情况都排除的话，答案就是 3 3 3。
public int numSquares(int n) {
if (isSquare(n)) {
return 1;
}
int temp = n;
while (temp % 4 == 0) {
temp /= 4;
}
if (temp % 8 == 7) {
return 4;
}
for (int i = 1; i * i < n; i++) {
if (isSquare(n - i * i)) {
return 2;
}
}
return 3;
}
private boolean isSquare(int n) {
int sqrt = (int) Math.sqrt(n);
return sqrt * sqrt == n;
}
