计算阶乘之后的零个数

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我觉得吧,以后像这种纯粹就是进行数学分析的问题,我就要把它记录下来,这种问题给你时间让你去分析,可能就能分析出来,但是限定你时间让你解决,很容易卡住,所以遇到了就学习思路,然后以后如果碰到类似的问题,那么解决起来就非常迅速利落了。

问题描述

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问题解决

首先肯定不能依赖于把阶乘算出来再去判断有多少个零了,因为阶乘很容易就溢出了,所以先一步一步理一下思路吧。首先末尾有多少个 0 ,只需要给当前数乘以一个 10 就可以加一个 0

再具体对于 5!,也就是 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120,我们发现结果会有一个 0,原因就是 2 和 5 相乘构成了一个 10。而对于 10 的话,其实也只有 2 * 5 可以构成,所以我们只需要找有多少对 2/5。我们把每个乘数再稍微分解下,看一个例子。

11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 
= 
11 * (2 * 5) * 9 * (4 * 2) * 7 * (3 * 2) * (1 * 5) * (2 * 2) * 3 * (1 * 2) * 1

对于含有 2 的因子的话是 1 * 2, 2 * 2, 3 * 2, 4 * 2 ...。对于含有 5 的因子的话是 1 * 5, 2 * 5...。含有 2 的因子每两个出现一次,含有 5 的因子每 5 个出现一次,所有 2 出现的个数远远多于 5,换言之找到一个 5,一定能找到一个 2 与之配对。所以我们只需要找有多少个 5。直接的,我们只需要判断每个累乘的数有多少个 5 的因子即可。

public int trailingZeroes(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int N = i;
        while (N > 0) {
            if (N % 5 == 0) {
                count++;
                N /= 5;
            } else {
                break;
            }
        }
    }
    return count;
}

不过上面的思路并不是最优的思路,我们还可以进一步的优化一下。对于一个数的阶乘,就如之前分析的,5 的因子一定是每隔 5 个数出现一次,也就是n! = 1 * 2 * 3 * 4 * (1 * 5) * ... * (2 * 5) * ... * (3 * 5) *... * n。因为每隔 5 个数出现一个 5,所以计算出现了多少个 5,我们只需要用 n/5 就可以算出来。

但还没有结束,继续分析。... * (1 * 5) * ... * (1 * 5 * 5) * ... * (2 * 5 * 5) * ... * (3 * 5 * 5) * ... * n。每隔 25 个数字,出现的是两个 5,所以除了每隔 5 个数算作一个 5,每隔 25 个数,还需要多算一个 5。也就是我们需要再加上 n / 25 个 5

同理我们还会发现每隔 5 * 5 * 5 = 125 个数字,会出现 3 个 5,所以我们还需要再加上 n / 125 。综上,规律就是每隔 5 个数,出现一个 5,每隔 25 个数,出现 25,每隔 125 个数,出现 3 个 5... 以此类推。最终 5 的个数就是 n / 5 + n / 25 + n / 125 ...。写程序的话,如果直接按照上边的式子计算,分母可能会造成溢出。所以算 n / 25 的时候,我们先把 n 更新,n = n / 5,然后再计算 n / 5 即可。后边的同理。

public int trailingZeroes(int n) {
    int count = 0;
    while (n > 0) {
        count += n / 5;
        n = n / 5;
    }
    return count;
}
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