Acwing - 算法基础课 - 笔记(四)

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数据结构(一)

本节讲解的是

  1. 链表与邻接表
  2. 栈与队列
  3. 看毛片(kmp)算法

链表

使用数组模拟单链表双链表

使用数组模拟的链表,为静态链表,对单链表,开2个数组,其中1个用来存每个链表节点的,另1个数组用来存每个节点的next指针

对双链表,开3个数组,其中1个用来存每个链表节点的值,另外2个数组用来存每个节点的prevnext指针

单链表,用到比较多的是邻接表,邻接表经常用来存储。(会在后续第三章讲图论时带出)

单链表练习题:Acwing - 826: 单链表(静态链表)

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int head = -1, idx; // head指针指向第一个节点, idx表示当前用了的下标
int e[N], ne[N]; // 其中 e 存放链表节点的值, ne 存放链表节点的next指针

// 插入到头节点
void add_to_head(int x) {
    e[idx] = x;
    ne[idx] = head; 
    head = idx;
    idx++;
}

// 删除第k个插入的数后面的数
void del_after_k(int k) {
    // 第k个插入的数的下标为k - 1
    if(k == 0) head = ne[head]; // 删除头节点
    else ne[k - 1] = ne[ne[k - 1]];
}

// 在第k个插入的数后面插入一个
void add_after_k(int k, int x) {
    e[idx] = x;
    ne[idx] = ne[k - 1];
    ne[k - 1] = idx;
    idx++;
}

int main() {
    int m;
    cin >> m;
    while(m--) {
        char op;
        cin >> op;
        if(op == 'H') {
            int x;
            cin >> x;
            add_to_head(x);
        } else if(op == 'D') {
            int k;
            cin >> k;
            del_after_k(k);
        } else if(op == 'I') {
            int k, x;
            cin >> k >> x;
            add_after_k(k, x);
        }
    }
    
    //输入完毕, 输出链表
    for(int i = head; i != -1; i = ne[i]) {
        printf("%d ", e[i]);
    }
    return 0;
}
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双链表练习题:Acwing - 827: 双链表

// C++
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int l[N], r[N], e[N], idx, head = 0, tail = 1;

void init() {
    // 头节点下标为0, 尾节点下标为1, idx固定从2开始
	l[0] = -1;
	r[0] = 1;
	l[1] = 0;
	r[1] = -1;
	idx = 2;
}

void add(int k, int x) {
	// 在下标为k的位置后面, 插入一个数x
	e[idx] = x;
	l[idx] = k;
	r[idx] = r[k];
	l[r[k]] = idx;
	r[k] = idx;
	idx++;
}

void del(int k) {
	// 删除下标为k的数
	r[l[k]] = r[k];
	l[r[k]] = l[k];
}

int main() {
	init();
	int m;
	cin >> m;
	for(int i = 0; i < m; i++){
		string op;
		cin >> op;
		int k, x;
		if(op == "L") {
			cin >> x;
			add(0, x); // 在链表头插入
		} else if(op == "R") {
			cin >> x;
			add(l[1], x);
		} else if(op == "D") {
			// 删除第k个插入的数, 第1个插入的数, 下标是2
			cin >> k;
			del(k + 1);
		} else if(op == "IL") {
			cin >> k >> x;
			add(l[k + 1], x);
		} else if(op == "IR") {
			cin >> k >> x;
			add(k + 1, x);
		}
	}
	for(int i = r[head]; i != 1; i = r[i]) {
		printf("%d ", e[i]);
	}
	return 0;
}
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// Java
import java.util.Scanner;

/**
 * @Author yogurtzzz
 * @Date 2021/5/8 14:51
 **/
public class Main {

	static int[] l, r, e;
	static int head = 0, tail = 1, idx = 0;

	static void init(int n) {
		l = new int[n + 10];
		r = new int[n + 10];
		e = new int[n + 10];
		l[0] = -1;
		r[0] = 1;
		l[1] = 0;
		r[1] = -1;
		idx = 2;
	}

	static void add(int k, int x) {
		e[idx] = x;
		l[idx] = k;
		r[idx] = r[k];
		l[r[k]] = idx;
		r[k] = idx;
		idx++;
	}

	static void del(int k) {
		r[l[k]] = r[k];
		l[r[k]] = l[k];
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		int n = scanner.nextInt();
		init(n);
		while(n-- > 0) {
			String op = scanner.next();
			if ("L".equals(op)) {
				int x = scanner.nextInt();
				add(0, x);
			} else if ("R".equals(op)) {
				int x = scanner.nextInt();
				add(l[1], x);
			} else if ("D".equals(op)) {
				int k = scanner.nextInt();
				del(k + 1);
			} else if ("IL".equals(op)) {
				int k = scanner.nextInt(), x = scanner.nextInt();
				add(l[k + 1], x);
			} else if ("IR".equals(op)) {
				int k = scanner.nextInt(), x = scanner.nextInt();
				add(k + 1, x);
			}
		}
		for(int i = r[head]; i != 1; i = r[i]) {
			System.out.printf("%d ", e[i]);
		}
		System.out.println();
	}
}
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栈和队列

栈,特性是后进先出,逻辑上可以理解为只有一个开口的桶,

队列,特性是先进先出,逻辑上可以理解为在两端有开口的桶,只能从其中一端插入,另一端取出,就像排队一样,先排队的会先被服务,后排队的后被服务。

这两个数据结构都非常简单,不细说。

数组模拟栈,练习题:Acwing - 828: 模拟栈

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int stack[N];
int top;

void push(int x) { stack[++top] = x; }

void pop() { top--; }

int query() { return stack[top]; }

bool empty() { return top <= 0; }

int main() {
	int n, x;
	cin >> n;
	while(n--) {
		string op;
		cin >> op;
		if(op == "push") {
			cin >> x;
			push(x);
		} else if(op == "pop") {
			pop();
		} else if(op == "empty") {
			if(empty()) printf("YES\n");
			else printf("NO\n");
		} else if(op == "query") {
			printf("%d\n", query());
		}
	}
	return 0;
}
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栈的应用,练习题:Acwing - 3302: 表达式求值

数组模拟队列,练习题:Acwing - 829: 模拟队列

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int queue[N];
int head = 0, tail = -1;

void push(int x) { queue[++tail] = x; }

void pop() { head++; }

bool empty() { return head > tail; }

int query() { return queue[head]; }

int main() {
	int n, x;
	cin >> n;
	while(n--) {
		string op;
		cin >> op;
		if(op == "push") {
			cin >> x;
			push(x);
		} else if(op == "pop") {
			pop();
		} else if(op == "empty") {
			if(empty()) printf("YES\n");
			else printf("NO\n");
		} else if(op == "query") {
			printf("%d\n", query());
		}
	}
	return 0;
}
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单调栈

应用场景:给定一个序列,对于序列中的每个数,求解它左边离他最近且比它小的数(或者右边,或者比它大)

比如对于序列[3, 4, 2, 7, 5],求解每个数左边最近的且比它小的数(不存在则返回-1),答案是

[-1, 3, -1, 2, 2]

考虑的方法和双指针类似,先想一下暴力做法,再进行优化

暴力做法就是,先枚举i = 0~n,然后枚举j,j从i-1开始到0

int a[n] = {3, 4, 2, 7, 5};
for(int i = 0; i < n; i++) {
    for(int j = i - 1; j >= 0; j--) {
        if(a[i] > a[j]) {
            printf("%d ", a[j]); // 输出
            break; // 跳出循环, 继续对下一个i进行处理
        }
    }
}
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如果采用栈来做的话,就是对于i = 0~n,用一个栈来存i前面所有的数,而我们观察发现,有的数是不会作为答案的。对于 i 前面的数,比如 m 和 n 都小于i ,假设 m < n,则a[m]在a[n]的左边,如果a[m] ≥ a[n],则a[m]是不会作为答案输出的。因为i往左寻找,最多找到n这个位置,而a[n]要比a[m]更小,所以不会再往左找到m。于是,我们只需要保证栈中的元素有单调性即可。

即,若m < n,且a[m] >= a[n],则往栈中压入a[n]时,会删除先前压入的a[m]。最后保证栈中的元素是升序排列的。

而当需要找第i个数的左边最近的且比它小的数时,先将a[i]和栈顶元素比较,若栈顶元素≥a[i],则弹出栈顶元素。因为对i后面的数,答案最多取到a[i],所以此时的栈顶对i后面的数是无用的,直接删除。一直删除栈顶元素,直到栈顶元素<a[i],此时的栈顶就是答案,再把a[i]压入栈,继续下一个位置的判断。

练习题:Acwing - 830: 单调栈

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int stack[N];
int n, top;

void stack_push(int x) {
    stack[++top] = x;
}

void stack_pop() {
    top--;
}

int stack_top() {
    return stack[top];
}

bool stack_empty() {
    return top <= 0; // top == 0 时表示栈为空
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    int t;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        // 无需先读入数组再进行操作
        // 可以同时读入数组并生成答案
        scanf("%d", &t);
        while(!stack_empty()) {
            int e = stack_top();
            // 当栈非空时, 查看栈顶元素和a[i]的关系
            if(e >= t) stack_pop();
            else {
                printf("%d ", e);
                stack_push(t);
                break;
            }
        }
        if(stack_empty()) {
            printf("-1 ");
            stack_push(t);
        }
            
    }
    return 0;
}
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更简短的代码

// 每个元素都只有一次压栈和出栈的机会,所以时间复杂度是O(n)
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, tt;  // tt 表示栈顶的位置
int stk[N]; // stk[]数组是用来模拟栈

int main() {
    scanf("%d", &n);
    int x;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &x);
        while(tt && stk[tt] >= x) tt--; // 当栈非空时, 且栈顶元素大于a[i]时, 弹出栈顶元素
        // 循环结束后, 栈要么为空, 要么栈顶元素就是答案
        if(tt) printf("%d ", stk[tt]); // 若栈非空, 输出栈顶元素
        else printf("-1 ");
        stk[++tt] = x; // 将当前元素压栈
    }
    return 0;
}
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单调队列

最经典的应用:求解滑动窗口中的最大值和最小值

也是先想一个暴力的做法,然后考虑一下能删掉那些元素,是否能得到单调性。

练习题:Acwing - 154: 滑动窗口

这道题的思路和上面的单调栈思路类似,不再赘述。注意队列里存放的是下标,而不是数组元素的值。这是因为随着窗口的滑动,需要移除左边的元素,此时存放下标会更加方便。

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n, k;
int a[N], q[N]; // 其中a数组存放原始的数据, q数组用来做单调队列

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);

	// 找出滑动窗口的最小值
	int hh = 0, tt = -1; // hh是队头, tt是队尾
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		// 队列非空, 且对头下标在滑动窗口左边界的左侧时, 移除队头
		while(hh <= tt && q[hh] < i - k + 1) hh++;
		while(hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt--; // 当队尾元素 >= 当前元素时, 移除队尾
		q[++tt] = i; // 队列里从队头到队尾, 是单调递增的, 队头元素就是当前滑动窗口的最小值
		if(i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]); // 从第k个位置开始, 进行输出
	}
	printf("\n");

	// 找出滑动窗口的最大值
	hh = 0, tt = -1;
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		while(hh <= tt && q[hh] < i - k + 1) hh++;
		while(hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) tt--;// 当队尾元素 <= 当前元素时, 移除队尾
		q[++tt] = i; // 队列里从队头到队尾, 是单调递减的,  队头元素就是当前滑动窗口的最大值
		if(i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
	}
	return 0;
}
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KMP算法

时间复杂度O(n)的模式匹配算法。详解可参考我的这篇文章一文看懂KMP算法

练习题:Acwing - 831 : KMP字符串

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 1e6 + 10;
char p[N], s[M];
int ne[N]; // 针对模式串P的next数组
int n, m;

int main() {
    // 字符串的起始下标从1开始, 方便处理边界
    cin >> n >> p + 1 >> m >> s + 1;
    // 先求解 next 数组
    // 下标从1开始取, next[i] 的值, 表示以 i 为右端点的字串, 最大的前缀和后缀的长度, 这个长度不能超过 i
    // 故 next[1] 的 值不能超过1, 故 next[1] = 0, 从下标 2 开始计算 next数组
    for(int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
        // 错开一位进行匹配, 每次匹配 i 和 j + 1 位, 第一次则匹配 2 和 1 
        while(j > 0 && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; // 当前面有匹配上的位时, 看看当前位是否匹配, 若不匹配, 需要回溯 j 
        if(p[i] == p[j + 1]) j++; // 该位匹配上了, 则 j 往后移动一位, 并且当前位置的 next[i] = j;
        ne[i] = j;
    }
    // 求解完毕 next 数组, 开始进行模式匹配
    for(int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
        while(j > 0 && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; // 回溯 j
        if(s[i] == p[j + 1]) j++; // 当前位匹配, 后移j
        if(j == n) {
            // 匹配完成, 开始下一次可能的匹配
            printf("%d ", i - n);
            j = ne[j];
        }
    }
    return 0;
}
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