题目
分析
来观察下正方形矩阵旋转90度时究竟发生了什么。
观察图中颜色相同的四个位置，当旋转90度后，对应位置的元素发生了顺时针的交换。
而相隔的两个位置是中心对称的，基于此可以计算出发生交换的四个元素位置关系。
设四个位置中，位于左上角区域的位置坐标为 (i,j)，
则按顺时针顺序，四个位置分别为(i,j), (j, n-i-1), (n-i-1,n-j-1), (n-j-1,i)。
其中 n 为 matrix.size(), i, j 分别为matrix的行列下标，从 0 开始。
整个矩阵的旋转可以理解为起点都在左上角区域，然后依次顺时针移动
matrix.size() 为奇数时，位置的对应关系相同，但左上角区域并不是整个矩阵的四分之一，如下图示：
其实就是多了中间列的上半部分。
那么现在捋一下如何原地操作元素：
枚举左上区域的所有位置，然后通过上面总结的位置关系直接交换元素。
对于一个位置 (i,j)，需要交换三次：
- s w a p ( m a t r i x [ i ] [ j ] , m a t r i x [ j ] [ n − i − 1 ] ) ; swap(matrix[i][j], matrix[j][n-i-1]); swap(matrix[i][j],matrix[j][n−i−1]);
- s w a p ( m a t r i x [ i ] [ j ] , m a t r i x [ n − i − 1 ] [ n − j − 1 ] ) ; swap(matrix[i][j], matrix[n-i-1][n-j-1]); swap(matrix[i][j],matrix[n−i−1][n−j−1]);
- s w a p ( m a t r i x [ i ] [ j ] , m a t r i x [ n − j − 1 ] [ i ] ) ; swap(matrix[i][j], matrix[n-j-1][i]); swap(matrix[i][j],matrix[n−j−1][i]);
综上，整个过程的时间复杂度为O(n^2)；空间复杂度为(1)。
有小伙伴对坐标推导过程感兴趣，那我尝试讲一下：
这样就得到了其中一对位置的坐标对应关系，另一对和该对是根据对角线对称的，证明过程类似，不再赘述啦。
class Solution {
public:
void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
int n = matrix.size();
if(n == 0) { return; }
int r = (n>>1)-1; //左上角区域的最大行下标，
int c = (n-1)>>1; //左上角区域的最大列下标，行列下标从 0 开始。
for(int i = r; i >= 0; --i) {
for(int j = c; j >= 0; --j) {
swap(matrix[i][j], matrix[j][n-i-1]);
swap(matrix[i][j], matrix[n-i-1][n-j-1]);
swap(matrix[i][j], matrix[n-j-1][i]);
}
}
}
};
复制代码java实现
import java.util.Arrays;
public class Solution {
// 4 个数轮换，大风车转呀转悠悠
public void rotate(int[][] matrix) {
int N = matrix.length;
for (int i = 0; i < N / 2; i++) {
for (int j = i; j < N - i - 1; j++) {
int temp = matrix[i][j];
matrix[i][j] = matrix[N - j - 1][i];
matrix[N - j - 1][i] = matrix[N - i - 1][N - j - 1];
matrix[N - i - 1][N - j - 1] = matrix[j][N - i - 1];
matrix[j][N - i - 1] = temp;
}
}
}
public static void main(String[] args) {
int[][] matrix = {
{5, 1, 9, 11},
{2, 4, 8, 10},
{13, 3, 6, 7},
{15, 14, 12, 16}
};
Solution solution = new Solution();
solution.rotate(matrix);
for (int[] row : matrix) {
System.out.println(Arrays.toString(row));
}
}
}
复制代码方法二：利用翻转代替旋转
class Solution {
public:
void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
int n = matrix.size();
// 水平翻转
for (int i = 0; i < n / 2; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
swap(matrix[i][j], matrix[n - i - 1][j]);
}
}
// 主对角线翻转
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < i; ++j) {
swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);
}
}
}
};
复制代码我们还可以另辟蹊径，用翻转操作代替旋转操作。我们还是以题目中的示例二
5 1 9 11
2 4 8 10
13 3 6 7
15 14 12 16
复制代码作为例子，先将其通过水平轴翻转得到：
5 1 9 11 15 14 12 16
2 4 8 10 13 3 6 7
------------ =水平翻转=> ------------
13 3 6 7 2 4 8 10
15 14 12 16 5 1 9 11
复制代码再根据主对角线 \ 翻转得到：
15 14 12 16 15 13 2 5
13 3 6 7 =主对角线翻转=> 14 3 4 1
2 4 8 10 12 6 8 9
5 1 9 11 16 7 10 11
复制代码就得到了答案。这是为什么呢？对于水平轴翻转而言，我们只需要枚举矩阵上半部分的元素，和下半部分的元素进行交换
java实现
class Solution {
public void rotate(int[][] matrix) {
int n = matrix.length;
// 先以对角线（左上-右下）为轴进行翻转
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
int tmp = matrix[i][j];
matrix[i][j] = matrix[j][i];
matrix[j][i] = tmp;
}
}
// 再对每一行以中点进行翻转
int mid = n >> 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < mid; j++) {
int tmp = matrix[i][j];
matrix[i][j] = matrix[i][n - 1 - j];
matrix[i][n - 1 - j] = tmp;
}
}
}
}
复制代码j++) {
int tmp = matrix[i][j];
matrix[i][j] = matrix[i][n - 1 - j];
matrix[i][n - 1 - j] = tmp;
}
}
}
}
复制代码