为什么没有第二章的笔记呢？因为第二章全章都是在科普数学知识。

第二章 数学预备知识

翻译半天，我发现看这个课件 就可以了

• 集合 Sets, 关联 Relations, and 函数 Functions
• 有序集合 Ordered Sets
• 序列 Sequences
• 归纳法 Induction

第三章 算术表达式（无类型）

介绍

这一章用到的编程语言只有一些简单的语法：

• 布尔值 true 和 false
• 条件表达式 if ... then ... else ...
• 数字 0
• 算术操作符 next（表示加一） 和 prev（表示减一）
• 判断操作符 iszero

即：

term ::=                               
        true                       
        false
        if term then term else term
        0
        next term
        prev term
        iszero term

在第八章之前，term 跟 expression 同义，就是表达式的意思。看看下面表达式你能不能理解：

if flase then 0 else 1;
> 1
iszero (prev (next 0));
> true
next(next(next(0)));
> 3

语法 Syntax

上面的 term ::= 表达式定义了这门语言的语法，但现在介绍另一种定义语法的方式。terms 的集合就是这样一个集合：

1. $\{true, false, 0\} \subseteq T$
2. if $t_1 \in T$,then $\{\text{next } t_1, \text{prev } t_1, \text{iszero } t1\} \subseteq T$
3. if $t_1 \in T$, $t_2 \in T$, $t_3 \in T$, then if $t_1$ then $t_2$ else $t_3$ $\in T$

上面的规则可以缩写成：

$true \in T$	$false \in T$	$0 \in T$
$\frac{t_1 \in T}{\text{next }t_1 \in T}$	$\frac{t_1 \in T}{\text{prev }t_1 \in T}$	$\frac{t_1 \in T}{\text{iszero }t_1 \in T}$
	$\frac{t_1 \in T\; t_2 \in T\;t_3 \in T}{\text{if }t_1 \text{ then }t_2\text{ else }t_3 \in T}$

上面的规则还可以写成：

求值

上图的意思是：

• v 求值最终得到 v
• 如果 $t_1$ 求值得到 true，$t_2$ 求值得到 $v_2$，则 if $t_1$ then $t_2$ else $t_3$ 求值得到 $v_2$
• 以此类推

完。