《dp补卡——343. 整数拆分、96. 不同的二叉搜索树》

343. 整数拆分

1、确定dp数组以及下标含义。

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大的乘积

2、确定递推公式：

dp[i]最大乘积出处：从1遍历j到i，j * dp[i-j] 与 j * (i-j)取最大值。( 拆分j的情况，在遍历j的过程中dp[i - j]其实都计算过了 )

所以递推公式为：

dp[i] =max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]));

3、dp的初始化

dp[0] = dp[1] = 0;

dp[2] = 1;

4、确定遍历顺序

由于递推公式，dp[i]是依靠dp[i-j]的状态，所以i遍历从前向后。j也是从前向后遍历的。

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        dp[0] = dp[1] = 0;
        dp[2] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= i; j++)
            {
                dp[i] =max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

96. 不同的二叉搜索树

分析：

dp[3] = 元素1为头结点搜索树的数目 + 元素2为头结点搜索树的数目 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

所以 dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2];

1、确定dp数组以及下标含义

dp[i] : 1到i节点组成的二叉搜索树的个数

2、确定递推公式

dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
dp[j-1]:j为头结点左子树节点数量
dp[i-j]:i-j为头结点右子树节点数量

3、dp数组初始化

dp[0] = 1;

4、确定遍历顺序

从前往后遍历：

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = 1; j <= i; j++)
    {
        dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
    }
}

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= i; j++)
            {
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};