LeetCode 213. 打家劫舍 II：题解｜刷题打卡

2021年04月20日 08:30 · 阅读 103

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一、题目描述：

原题链接

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都围成一圈，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，今晚能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：nums = [2,3,2]
输出：3
解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。
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二、思路分析：

因为不能选择相邻的房屋，一种简单的推测是只偷奇数或者只偷偶数号房屋，但是很可惜这种推测是错误的，因为除了间隔一间房屋来偷，还可以间隔两间房屋来偷，并不是每走两步就必须偷一间，而使用动态规划思想就可以得到最优解了。

假设我们是从前往后依次来偷的，那么当我们位于第 $i$ 间房屋的时候，偷不偷 $i$ 号房只和前面位于前面两间房屋的最大收益有关，一种可能是偷了 $i - 2$ 号房并且偷了 $i$ 号房，还有一种可能是偷了 $i - 1$ 号房，就不能偷 $i$ 号房了。

让我们用 $dp[i]$ 表示在 $i$ 号房的最大收益，那么很容易地写出状态方程： $dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i])$ ，然后注意一下边界情况就行。因为这道题还有一个限制条件：第一个和最后一个房屋是相邻的，偷了第一间就不能偷最后一间，所以我们需要分情况求解选最大值。

三、AC 代码：

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if (n == 1) {
            return nums[0];
        }
        if (n == 2) {
            return max(nums[0], nums[1]);
        }
        vector<int> dp(n);
        dp[0] = nums[0], dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
        for (int i = 2; i < n - 1; ++i) {
            dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
        }
        int ans = dp[n - 2];
        dp[1] = nums[1], dp[2] = max(nums[1], nums[2]);
        for (int i = 3; i < n; ++i) {
            dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
        }
        return max(ans, dp[n - 1]);
    }
};
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四、总结：

在解决一些分步的最优化题目时，动态规划往往是个不错的选择，因为动态规划能有效降低时间复杂度，而且有时所产生的的额外空间复杂度也能得到优化，比如这道题就可以使用滚动数组来替代整个 $dp$ 数组将空间复杂度降至 $O(1)$ ，感兴趣的同学可以尝试一下。