Codeforces 1513C 加一:题解|刷题打卡

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一、题目描述:

今天要写的题来自 Codeforces,也是一道比较有意思的题。 Codeforces 1513C 加一image.png

题目大意: 给你一个数字串 nn,每次操作都需要对其中的每一位数字加一,数字 11 变成 22,..., 数字 99 变成 1010,比如 19121912 会变成 2102321023,后面的操作也要遵循这个规则。

输入: 第一行是测试样例数 tt

之后的 tt 行,每一行都包括一个初始数字 nn 和一个操作步数 mm

输出: 你需要对每一个样例输出进行 mm 次操作后数字串的长度 mod(1e9+7)mod\,(1e9 + 7) 后的结果。

二、思路分析:

经过简单的分析可以发现 [0...9][0...9] 的数字只要经过足够的步数后都会变为 1010,而后的问题就变成了两个规模更小的问题:1100 在经过剩下的步数后会变成多少位。

我们可以用 f(i,m)f(i, m)i[0,9]i \in [0, 9] 表示 iimm 步后的长度,很容易可以看出 ii10i10 - i 步后会变成 1010,所以之后的情形可以简单地等效于 1100 在经过 m(10i)m - (10 - i) 步后的总长度是多少。

所以有 f(i,m)={1,m<10if(1,m10+i)+f(0,m10+i),m10if(i, m) = \begin{cases} 1,\quad m < 10 - i\\ f(1, m - 10 + i) + f(0, m - 10 + i), \quad m \geq 10 - i \end{cases}

看到这里,想必你已经知道怎么写了吧,预处理出一个二维数组记录可能会用到的 f(i,m)f(i, m) 值,这就是二维 DP。但是做到这里我们还可以将其优化成一维。

dp[j]dp[j] 表示 00jj 步后的长度,由于 k[0,9]\forall k \in [0, 9] 都可以看作 jj 经过 kk 步后产生的,所以 f(i,m)=dp[i+m]f(i, m) = dp[i + m]

j=m+ij = m + i,再结合上面的推导,我们就可以得到: dp[i]={1,i<10dp[i9]+dp[i10],i10dp[i] = \begin{cases} 1, \quad i < 10\\ dp[i - 9] + dp[i - 10], \quad i \geq 10 \end{cases}

三、AC 代码:

#include <iostream>
using namespace std;
using ll = long long;

const int maxn = 2e5 + 50;
const int mod = 1e9 + 7;

int dp[maxn];

void getDp() {
    for (int i = 0; i < 10; ++i) {
        dp[i] = 1;
    }
    for (int i = 10; i < maxn; ++i) {
        dp[i] = (dp[i - 10] + dp[i - 9]) % mod;
    }
}

void solve() {

    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int ans = 0;
    while (n) {
        ans = ((ll)ans + dp[n % 10 + m]) % mod;
        n /= 10;
    }

    printf("%d\n", ans);
}

int main() {
    
    // 一定要关闭同步流,不然 cin 会超时
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    getDp();
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
}
复制代码

四、总结:

在写这道题的时候我首先想到的是倒推的递归写法,和 DP 写法的区别在于一个是从终点开始往前推,一个是从 00 开始往后推。这两种写法的思想都是将大问题分解成小问题来解决,也就是分治,再一次说明了基本思想的重要性。简单的递归可能会导致栈溢出,感兴趣的同学可以尝试使用记忆化搜索优化来写递归,但那就是另外一个故事了。

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