正态分布的条件分布与边缘分布本文总结多元正态分布的条件分布与边缘分布，证明不难，但都比较繁琐，故不做详细证明，有兴趣可以

本文总结多元正态分布的条件分布与边缘分布，证明不难，但都比较繁琐，故不做详细证明，有兴趣可以参考Pattern Recognition and Machine Learningy一书。

1 正态分布的条件分布

对于联合正态分布变量 $x\sim N(\mu,\Sigma)$ ，定义精度矩阵（the precision matrix）为协方差矩阵的逆，即 $\Lambda\equiv \Sigma^{-1}$ ，做分块处理：

x=\begin{bmatrix} x_a \\ x_b \end{bmatrix}, \mu=\begin{bmatrix} \mu_a \\ \mu_b \end{bmatrix},\Sigma=\begin{bmatrix} \Sigma_{aa} &\Sigma_{ab} \\ \Sigma_{ba}& \Sigma_{bb} \end{bmatrix}, \Lambda=\begin{bmatrix} \Lambda_{aa} &\Lambda_{ab} \\ \Lambda_{ba}& \Lambda_{bb} \end{bmatrix}

那么，条件分布

p(x_a|x_b)=N(\mu_{a|b}, \Lambda^{-1})

其中

\mu_{a|b}=\mu_a-\Lambda_{aa}^{-1} \Lambda_{ab}(x_b-\mu_b)

如何证明？证明的关键在于，对于正态分布的密度函数来说，它的指数项都可以写作

-\dfrac{1}{2}(x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu)=-\dfrac{1}{2}x'\Sigma^{-1}x+x'\Sigma^{-1}\mu+C

其中 $C$ 是常数项。

因此，只需将联合分布的密度函数展开，再将其关于 $x_a$ 的二次项、一次项整理出来，利用其系数即可得到 $\Sigma^{-1}$ 和 $\mu$ 的表达式。

按与上一节同样的设定， $x_a$ 的边缘分布为

p(x_a)=N(x_a| \mu_a, \Sigma_{aa})

如何证明？只需将原来的密度函数对 $x_b$ 积分即可，利用配方，积分并不困难。

或者，取 $A=[I,0]$ ，则有 $Ax=x_a\sim N(A\mu,A\Sigma A')$ ，展开后即可直接得到上面的结果。