提起余数应该大家都不陌生，我们生活中就有很多很多与余数相关的例子。
比如说，今天是星期三，想知道 100 天之后是星期几，可以这样算，拿 100 除以 7（因为一个星期有 7 天），然后余 1，最后在今天的基础上加一天，这样你就能知道 100 天之后是星期四了。
再比如，你有 11 个苹果，每天吃三个，可以吃几天？可以用 11 除于 3，得到商是 3，余数是 2，所以一共可以吃四天，也就是 3+1 = 4，最后的余数就是多出来，比如这里最后一天我们的苹果不够三个。
再举一个跟编程相关的例子，列表中，经常要用到分页的概念。如果要展示 923 条数据，每页 10 条，那该怎么计算总共的页数呢？我想你肯定是拿 923 除以 10，最后得到商是 920，余数是 3，所以你的总页数就是 920+1=923。
看完这三个例子，你有没有发现这个规律呢：余数总是在一个固定的范围内。
比如你拿任何一个整数除以 7，那得到的余数肯定是在 0～6 之间的某一个数。所以当我们知道 今天是星期一，那就可以知道今天之后的第 1 万天、10 万天是星期几，是不是很觉得很神奇呢？
整数是没有边界的，但是余数却可以通过某一种关系，让整数处于一个确定的边界内。比如上面星期的例子，从星期的角度看，不管你是哪一天，都会落到星期一到星期日的某一天里。
再拿上面星期的例子来看。假如今天是星期一，从今天开始的 100 天里，都有多少个星期呢？你拿 100 除以 7，得到商 14 余 2，也就是说这 100 天里有 14 周多 2 天。换个角度看，我们可以说，这 100 天里，你的第 1 天、第 8 天、第 15 天等等，在余数的世界里都被认为是同一天，因为它们的余数都是 1，都是星期一。同理，第 2 天、第 9 天、第 16 天余数都是 2，它们都是星期二。
因为这些数的余数都是一样的，所以被归类到了一起，这也就是 同余定理，也就是两个整数 a 和 b，如果它们除以正整数 m 得到的余数相等，我们就可以说 a 和 b 对于模 m 同余。
其实我们经常提到的奇数和偶数，其实也是同余定理的一个应用。当然，这个应用里，它的模就是 2 了，2 除以 2 余 0，所以它是偶数；3 除以 2 余 1，所以它是奇数。2 和 4 除以 2 的余数都是 0，所以它们都是一类，都是偶数。3 和 5 除以 2 的余数都是 1，所以它们都是一类，都是奇数。我们有无穷多个整数，那怎么能够全面、多维度地管理这些整数？同余定理其实就是用来分类的。
因此不管你的模是几，最终得到的余数肯定都在一个范围内。比如我们上面除以 7，就得到了星期几；我们除以 2，就得到了奇偶数。所以按照这种方式, 我们就可以把无穷多个整数分成有限多个类。
这一点，在我们的计算机中，是有大用途的。哈希（Hash）你应该不陌生，在每个编程语言中，都会有对应的哈希函数。哈希有的时候也会被翻译为散列，简单来说，它就是将任意长度的输入，通过哈希算法，压缩为某一固定长度的输出。其实也就是通过求余做的事呀，懂了没？
下面举个实际的例子，以数据存取为例：
假如你想要快速读写 100 万条数据记录，要达到高速地存取，最理想的情况当然是开辟一个连续的空间存放这些数据，这样就可以减少寻址的时间。但是由于条件的限制，我们并没有能够容纳 100 万条记录的连续地址空间，这个时候该怎么办呢？
可以看看系统是否可以提供若干个较小的连续空间，而每个空间又能存放一定数量的记录。比如我们找到了 100 个较小的连续空间，也就是说，这些空间彼此之间是被分隔开来的，但是内部是连续的，并足以容纳 1 万条记录连续存放，那么我们就可以使用余数和同余定理来设计一个散列函数，并实现哈希表的结构。
来看下下面的公式：
在这个公式中，x 表示等待被转换的数值，而 size 表示有限存储空间的大小，mod 表示取余操作。通过余数，你就能将任何数值，转换为有限范围内的一个数值，然后根据这个新的数值，来确定将数据存放在何处。
我们可以通过记录标号模 100 的余数，指定某条记录存放在哪个空间。假设有两条记录，它们的记录标号分别是 1 和 101。我们把这些模 100 之后余数都是 1 的，存放到第 1 个可用空间里。以此类推，将余数为 2 的 2、102、202 等，存放到第 2 个可用空间，将 100、200、300 等存放到第 100 个可用空间里。
这样，我们就可以根据求余的快速数字变化，对数据进行分组，并把它们存放到不同的地址空间里。而求余操作本身非常简单，因此几乎不会增加寻址时间。
除此之外，为了增加数据散列的随机程度，我们还可以在公式中加入一个较大的随机数 MAX，假设随机数 MAX 是 590199，那么我们针对标号为 1 的记录进行重新计算，最后的计算结果就是 0，而针对标号 101 的记录，如果随机数 MAX 取 627901，对应的结果应该是 2。这样先前被分配到空间 1 的两条记录，在新的计算公式作用下，就会被分配到不同的可用空间中。上面的公式就可以写成这样：
使用了 MAX 这个随机数之后，被分配到同一个空间中的记录就更加“随机”，更适合需要将数据重新洗牌的应用场景，比如加密算法、MapReduce 中的数据分发、记录的高速查询和定位等等。
以加密算法为例，引入 MAX 随机数可以增强加密算法的保密程度。举个例子，比如说我们要加密一组三位数，那我们设定一个这样的加密规则：
- 先对每个三位数的个、十和百位数，都加上一个较大的随机数。
- 然后将每位上的数都除以 7，用所得的余数代替原有的个、十、百位数；
- 最后将第一位和第三位交换。
假如，我们要加密数字 625，根据刚才的规则，我们来试试。假设随机数我选择 590127。那百、十和个位分别加上这个随机数，就变成了 590133，590129，590132。然后，三位分别除以 7 求余后得到 5，1，4。最终，我们可以得到加密后的数字就是 415。因为加密的人知道加密的规则、求余所用的除数 7、除法的商、以及所引入的随机数 590127，所以当拿到 415 的时候，加密者就可以算出原始的数据是 625。
综上就说完了 余数，是不是对它有了新的认识，是不是觉得很有趣呢？
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