【Deprecated】数据结构 | 栈都知道，单调栈有了解吗？

提示

这篇文章是在 2021 年写的，最近我对整篇文章重写并增加了新的内容，你直接看 栈都知道，单调栈有了解吗？

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历史上的今天

1938 年 3 月，香农发表时代论文。 这就是《继电器和开关电路的符号分析》("A Symbolic Analysis of Relay and Switching > Circuits")。香农在这篇论文中展示了如何把布尔代数的各种运算应用在开关电路中，将布尔代数中的 “真” “假” 和电路系统中的 “开” “关” 对应起来，并用 1 和 0 来标示。这篇论文是开关与逻辑电路理论和设计的开山之作，也是所有数字计算机运行的基础。 —— 《了不起的程序员》

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前言

• 单调栈是一种非常适合处理 下一个更大元素（Next Greater Number ） 问题的数据结构，在面试中比较冷门，建议应试者合理安排学习时间；
• 在这篇文章里，我将梳理单调栈的基本知识 & 常考题型。如果能帮上忙，请务必点赞加关注，这真的对我非常重要。

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目录

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1. 单调栈基础

1.1 定义

栈（Stack）是一种满足后进先出（LIFO）逻辑的数据结构，大家都很熟悉了，单调栈实际上就是在栈的基础上增加单调的性质。

比如有序就是最耳熟能详的单调性，每次新元素入栈时，我们可以采用一些额外的逻辑保证栈内元素都是有序的，这样我们就得到了一个单调栈。出栈的时候不需要增加额外的逻辑，因为对于一个单调栈（或者下篇文章提到的单调队列），移除首尾的元素后剩下的元素肯定还是满足单调性的。

单调性

单调性（monotonicity）也可以叫做增减性，可以定性地描述两个变量之间的关系。当变量$x$在其定义区间内增大时，函数$y= f(x)$随着增大（或减小），则称函数 y 在该区间单调递增（或单调递减）。

1.2 作用

理解了单调栈的定义，下一个问题就是单调栈有什么用？

老读者应该有印象，我们不是第一次讨论单调性了。我们在 《算法 | 下次面试遇到二分查找，别再写错了》 就已经提过单调性。还记得吗，我们说单调性是二分查找的必要条件。

为什么单调性是二分查找必要条件呢？因为在二分查找里，我们需要对比目标数与数组的中位数，来确定目标数是落在左半区间，还是右半区间。举个例子，对于一个单调递增序列，当中位数小于目标数时，那我们可以确定：左半区间一定不是解，右半区间可能有解。

此时，问题规模减少了一半（减治），整个二分查找算法的时间复杂度从暴力查找 $O(n)$，降低到$O(lgn)$，这里面单调性功不可没。

回到主题，单调栈里的单调性有什么用？栈里虽然没有中位数的概念，但是有栈顶的概念。我们可以利用栈顶来判断栈内其他元素是否存在解。 举个例子，对于一个从栈底到栈顶单调递增的栈，当栈顶元素小于目标数，那么我们可以确定：栈内元素都是小于目标数的；而当栈顶元素大于目标数，那么只有栈顶前面一部分元素大于目标数。

小结：利用单调的特性，以空间换时间优化时间复杂度。

1.3 局限性

相比于其他数据结构，单调栈并不能覆盖太大的问题域，所以这种数据结构的应用价值就打折扣了。也只有 下一个更大元素（Next Greater Number ） 这一类问题，精准命中单调栈的射程范围。在 第 3 节 中，我整理了大量典型例题，应该能覆盖常见的题型，多去看看加深理解。

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2. 单调栈解题框架

前面的内容相信大家很快就能理解了，我们直接看单调栈的原始题目 739. 每日温度（Medium），并根据这个例子来讨论单调栈的解题框架。

请根据每日气温列表，重新生成一个列表。对应位置的输出为：要想观测到更高的气温，至少需要等待的天数。如果气温在这之后都不会升高，请在该位置用 0 来代替。

例如，给定一个列表 temperatures = [73, 74, 75, 71, 69, 72, 76, 73]，你的输出应该是 [1, 1, 4, 2, 1, 1, 0, 0]。

提示：气温 列表长度的范围是 [1, 30000]。每个气温的值的均为华氏度，都是在 [30, 100] 范围内的整数。

这个问题的暴力解法很容易想到：对每个元素扫描后续的每个元素，找到第一个更大的元素，整体时间复杂度是$O(n^2)$，空间复杂度是$O(1)$。

下面我们来讨论单调栈的解法：

• 1、从左到右遍历每个元素，维护一个单调递增栈，栈中存储的是 「未确定解的元素下标」，下标对应的每日温度递增；
• 2、当栈为空，将当前元素下标入栈；
• 3.1 当栈不为空，如果当前元素大于等于栈顶元素，那么循环弹出栈顶元素，直到栈为空或者当前元素小于栈顶元素；
• 3.2 当栈不为空，如果当前元素小于栈顶元素，说明当前元素小于栈内所有元素（单调性），将当前元素入栈；
• 4、元素出栈时，计算下标的差值就是间隔天数。

—— 图片引用自 LeetCode

这个问题的题解基本上就是单调栈的解题框架：

fun dailyTemperatures(T: IntArray): IntArray {
    val result = IntArray(T.size) { 0 }

    1、维护单调递增栈
    val stack = ArrayDeque<Int>()

    for (index in T.indices) {
        while (!stack.isEmpty() && T[stack.peek()] < T[index]) {
            2、弹出栈顶小于等于目标数的元素
            val preIndex = stack.pop() // 下标出栈
            result[preIndex] = index - preIndex
        }
        3、栈顶元素大于目标数，那么栈内所有元素都大于目标数（单调性）
        stack.push(index) // 下标入栈
    }
    return result
}

提示： 你可以看下官方题解的视频讲解加深理解：【官方题解】

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

虽然代码中有两层循环，但是算法的时间复杂度并不是$O(n^2)$，这是因为内层循环并不是搜索整个数组（在暴力解法中，内层循环才是搜索整个数组）。事实上，对于每个元素，它最多会入栈和出栈一次，不会因为数据规模增大而导致每个元素增加额外的操作，所以每次操作的时间复杂度是$O(1)$。

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3. 举一反三

42. 接雨水（Hard） 【题解】

84. 柱状图中最大的矩形（Hard）

402. 移掉K位数字（Medium）

496. 下一个更大元素 I（Easy） 【题解】

503. 下一个更大元素 II（Medium）

739. 每日温度（Medium） 【题解】

901. 股票价格跨度（Medium）

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4. 总结

• 1、单调栈是在栈的基础上，利用了单调的特性，以空间换时间优化时间复杂度；
• 2、当遇到下一个更大元素（Next Greater Number ）问题时，可以考虑使用单调栈处理；
• 3、单调栈不能覆盖太大的问题域，应用价值不及其他数据结构。
• 4、单调栈还有一个孪生兄弟，你知道是什么吗？

参考资料

• 《第 9 章 · 单调栈》 —— liweiwei1419 著
• 《单调栈解决 Next Greater Number 一类问题》 —— labuladong 著
• 《每日温度 · 官方题解》 —— LeetCode

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