写在前面：该篇算法是第一篇能够完整挖掘出所有高效用情节，与UP-Span有些许定义上的不同，但正是这点点不同，导致挖掘结果的精度有很大的变化

Utility-Driven Mining of High Utility Episodes

样例

效用值表

复杂事件序列

定义

大多基本定义可以参考 UP-Span 算法，以下作一些补充及关键的定义。

• 事件发生时间段（Occurrence）定义与UP-Span中保持一致，这里做补充说明，设复杂情节 $\alpha = \big< \lbrace A,D \rbrace \rightarrow B \big>$，之所以称为复杂情节是因为该情节包含并行发生事件集（$\lbrace A, D \rbrace$）和串行发生事件集（$\lbrace A,D \rbrace, \lbrace B \rbrace$），则事件发生时间段集合为 $occSet(\alpha)$=$\lbrace [T_1,T_2],[T_1,T_5],[T_1,T_6],[T_3,T_5],[T_3,T_6] \rbrace$，需要注意的是，事件 $A$ 和 $D$ 必须是同时发生的（也就是发生在同一个时间点）否则就是串行发生事件，与原情节 $\alpha$ 设定不符

• 最大时间段（Maximum time duration）类似于早期情节挖掘算法中的滑动窗口，是需要用户指定的时间约束（MTD），避免因为时间跨度太长导致计算量的增大和事件之间的关联性降低，对任意情节 $\alpha$ 的时间跨度满足 $T_{\rm e} - T_{\rm s} \le MTD$，显然最小发生时间跨度 $mo(\alpha)$ 恒满足该不等式。

  Ps. 这里需要注意的是，UP-Span 中的定义是 $T_{\rm e} - T_{\rm s} + 1 \le MTD$，UMEpi算法这样设计的原因是为了提供一个更精确的边界，理解也更简单

• 情节权重效用值（Episode-Weighted Utilization）计算公式有两种：

  • UP-Span：$EWU(\alpha, mo(\alpha)) = \sum_{\rm i=1}^{\rm k-1}u(E_{\rm i}, T_{\rm i})+\sum_{\rm i=T_e}^{T_s+MTD}u(SE_{\rm i}, T_{\rm i})$
  • TSpan：$EWU(\alpha, mo(\alpha)) = \sum_{\rm i=1}^{\rm k}u(E_{\rm i}, T_{\rm i})+\sum_{\rm i=T_e}^{T_s+MTD}u(SE_{\rm i}, T_{\rm i})$

  其中 $\alpha = \big< (E_1),\ldots,(E_{\rm k}) \big>, \; T_{\rm i}(1 \le i \le k)$，TSpan在时间点 $T_{\rm e}$ 上的事件集会重复计算，进而导致 EWU 不精确，我们可以举例说明：

  设 $\alpha = \big<\lbrace A,D \rbrace \rightarrow B\big>, \, mo(\alpha) = [T_1, T_2]$，则可以得到以下两条计算结果

  $$UP-Span: EWU(\alpha, mo(\alpha)) = u(\lbrace A,D \rbrace, T_1)+u(\lbrace B,C \rbrace, T_2)+u(\lbrace A,D,E \rbrace, T_3) \\ TSpan: EWU(\alpha, mo(\alpha)) = u(\lbrace A,D \rbrace, T_1)+u(B, T_2)+u(\lbrace B,C \rbrace, T_2)+u(\lbrace A,D,E \rbrace, T_3)$$

  可以明显看到发生在 $T_2$ 时间点上的事件 $B$ 被重复计算，进而导致最终结果计算偏大，UMEpi算法采用的是UP-Span的计算方式

  需要额外指出的是，EWU不同于TWU和SWU，它只能作为局部剪枝情况出现，而不是像另外两个那样一次性可以从头剪枝到位（因为occurrence和扩展方式不同的缘故）例如设 $MTD = 2, \; minUtil = 50\%, \; TU = 94$ 情节 $\alpha = \big<A,B,D\big>$ 的 $EWU(\alpha)$ = $24属于低效用，应该被剪枝，但是它的扩展情节 $\big<E \rightarrow B \rightarrow \lbrace A,B,D \rbrace \big>$($48)，$\big<\lbrace D,E \rbrace \rightarrow B \rightarrow \lbrace A,B,D \rbrace \big>$($51) 却是高效用情节。 $\\$ 所以，在情节效用挖掘中，存在 “低效用情节可以经过扩展变成高效用情节” 的现象，这也是挖掘过程中的难点所在

• 情节剩余效用（Remaining utility of an episode）$ru(\alpha, T_{\rm i}) = \sum_{\rm e^\prime \not\in \alpha \land \alpha \prec e^\prime}u(e^\prime, T_{\rm i})$ 其中 $e^\prime$ 是一个个事件且这些事件是排在时间点 $T_{\rm i}$ 上的情节 $\alpha$ 之后，这是EWU计算的关键，因为只有考虑了剩余情节效用（潜在能够扩展的事件集），EWU才能算作是边界值，而且注意z在复杂事件序列上某个情节的剩余效用之和计算的时间跨度为 $T_{\rm e}+1 \le T_{\rm i} \le T_{\rm s} + MTD$

  根据情节剩余效用，我们可以对EWU进行有优化，可以得到新的公式：

  $$EWU(\alpha, mo(\alpha)) = u(\alpha, mo(\alpha)) + ru(E_{\rm k}, T_{\rm e}) + \sum_{\rm i=T_{e}+1}^{T_{\rm s}+MTD}tu(T_{\rm i}) \\ = \sum_{\rm i=1}^{\rm k}u(E_{\rm i}, T_{\rm i}) + ru(E_{\rm k}, T_{\rm e}) + \sum_{\rm i=T_{\rm e}+1}^{T_{\rm s}+MTD}tu(T_{\rm i})$$

  其中 $T_{\rm e} \le T_{\rm i} \le T_{\rm s]}+MTD$

• 高效用情节（High-utility episode）给定一个复杂事件序列 $S$，最大时间段 MTD 以及用户设置的阈值 minUtil，当 $S$ 中的事件(集)满足 $u(\alpha) \ge minUtil \times TU$，我们称该事件(集)为 HUE

策略

Episode-Weighted Downward Closure Property

• 词典序列树（Lexicographic sequence tree）基于前缀树的根节点为空，且对于父节点（也叫前缀节点）的所有子节点都通过连接（串，并）形成，这些子节点之间是有序的

  Ps. 和 EHIN 中的空间检索枚举树一致

  在词典序列树中我们可以使用 $u(\gamma) \le EWU(\gamma) \le EWU(\alpha) \le minUtil \times TU$ 这个不等式来进行剪枝，其中 $\gamma$ 是 情节 $\alpha$ 的扩展情节（扩展分为 Simult-Connection 和 Serial-Connection），推导过程只要比较他们的定义式就可以证明

算法

该算法也是分两步走：1）扫描生成1阶HUEs；2）不断调用 HUE-Span 方法利用低阶组合生成高阶HUEs

The Span-SimultHUE procedure：

The Span-SerialHUE procedure：

总结

该文主要贡献在于 ：1）论证了低权重情节也有可能与高权重情节组合生成高权重情节，这是以前HUEM算法都没有考虑周全的地方；2）使用剩余效用值重新定义了更紧凑的 EWU，这使得在运算速度上大大提高了；3）与UP-Span等算法相比，没有采用预测机制来推断哪些情节是高效的，$moSet(\alpha)$ 存储了 情节 $\alpha$ 的所有的发生子序列（也就是潜在可以组合的情节）