LeetCode算法系列 96. 不同的二叉搜索树

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力扣原题

96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

方法一：动态规划

思路与算法

给定一个有序序列 $1 \cdots n$ ，为了构建出一棵二叉搜索树，我们可以遍历每个数字 $i$ ，将该数字作为树根，将 $1 \cdots (i-1)$ 序列作为左子树，将 $(i+1) \cdots n$ 序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。

在上述构建的过程中，由于根的值不同，因此我们能保证每棵二叉搜索树是唯一的。

由此可见，原问题可以分解成规模较小的两个子问题，且子问题的解可以复用。因此，我们可以想到使用动态规划来求解本题。

题目要求是计算不同二叉搜索树的个数。为此，我们可以定义两个函数：

$G(n)$ : 长度为 $n$ 的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。

$F(i, n)$ : 以 $i$ 为根、序列长度为 $n$ 的不同二叉搜索树个数 $(1 \leq i \leq n)$ 。

不同的二叉搜索树的总数 $G(n)$ ，是对遍历所有 $i$ $(1 \le i \le n)$ 的 $F(i, n)$ 之和。

公式1： $G(n) = \sum_{i=1}^{n} F(i, n)$

于边界情况，当序列长度为 $1$ （只有根）或为 $0$ （空树）时，只有一种情况，即：

$G(0) = 1$ , $G(1) = 1$

给定序列 $1 \cdots n$ ，我们选择数字 $i$ 作为根，则根为 $i$ 的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积，对于笛卡尔积中的每个元素，加上根节点之后形成完整的二叉搜索树。

举例说明

创建以 $3$ 为根、长度为 $7$ 的不同二叉搜索树，整个序列是 $[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]$ ，我们需要从左子序列 $[1, 2]$ 构建左子树，从右子序列 $[4, 5, 6, 7]$ 构建右子树，然后将它们组合（即笛卡尔积）。

对于这个例子，不同二叉搜索树的个数为 $F(3, 7)$ 。我们将 $[1,2]$ 构建不同左子树的数量表示为 $G(2)$ , 从 $[4, 5, 6, 7]$ 构建不同右子树的数量表示为 $G(4)$ ，注意到 $G(n)$ 和序列的内容无关，只和序列的长度有关。于是， $F(3,7) = G(2) \cdot G(4)$ 。因此，我们可以得到以下公式：

公式2： $F(i, n) = G(i-1) \cdot G(n-i)$

将 公式1，公式2 结合，可以得到 $G(n)$ 的递归表达式：

$G(n) = \sum_{i=1}^{n}G(i-1) \cdot G(n-i)$

至此，我们从小到大计算 $G$ 函数即可，因为 $G(n)$ 的值依赖于 $G(0) \cdots G(n-1)$ 。

代码实现

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] G = new int[n + 1];
        G[0] = 1;
        G[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度 : $O(n^2)$ ，其中 $n$ 表示二叉搜索树的节点个数。 $G(n)$ 函数一共有 $n$ 个值需要求解，每次求解需要 $O(n)$ 的时间复杂度，因此总时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
空间复杂度 : $O(n)$ 。我们需要 $O(n)$ 的空间存储 $G$ 数组。

方法二：卡特兰数

卡特兰数简介

卡特兰数是组合数学中的一种著名数列，通常用如下通项式表示：

$f(n)=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$

卡特兰数也是有递推式的（和方法一的 $G(n)$ 的递归表达式一样）：

$f(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i-1)\times f(n-i)$

但在实际应用中，最常用的却是第一个通项式的变形：

$f(n)=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$

卡特兰数推导

基本模型：有一个长度为 $2n$ 的 $0$ , $1$ 序列，其中 $1$ , $0$ 各 $n$ 个，要求对于任意的整数 $k \in [1,2n]$ ，数列的前 $k$ 个数中， $1$ 的个数不少于 $0$ 。

我们把 $0$ , $1$ 操作扔到一个坐标系中。 $1$ 看成向右上方走一步， $0$ 看成向右下角走一步，那么最后构造完后一定走到了 $(2n,0)$ ，如下图：

那么总的路径数量就是在 $2n$ 步中选择 $n$ 步为 $1$ ，方案数为 $C_{2n}^{n}$ 。

限制条件：对于任意前缀， $1$ 的个数不少于 $0$ 。那么转化到坐标系中，也就是说走的路径不应该穿过 $x$ 轴，即直线 $y=0$ ，也就是不接触 $y=-1$ 。

于是我们把与 $y=-1$ 的接触点的右边整条路径以 $y=-1$ 为对称轴翻折，于是终点变为了 $(2n,-2)$ ，如下图：

那么此时，从 $(0,0)$ 到 $(2n,-2)$ 的路径必定至少穿过一次 $y=-1$ ，不满足条件，那么此时的路径数量即为总路径数中不符合题意的路径数，那么我们用总路径数减去不符合的路径数，就是最终的答案。

而此时的路径数量也很简单，由于反转后终点向下移了两位，也就意味着 $n-1$ 步是 $1$ ， $n+1$ 步是 $0$ ，总方案为 $C_{2n}^{n-1}$ ，那么最终的答案就是 $C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$ 。结果可以公式变形运算为:

$C_0 = 1$ , $C_{n+1} = \frac{2(2n+1)}{n+2}C_n$

卡特兰数的应用

一个栈(无穷大)的进栈序列为 $1,2,3,..n$ ,有多少个不同的出栈序列?
有 $2n$ 个人排成一行进入剧场。入场费 $5$ 元。其中只有 $n$ 个人有一张 $5$ 元钞票，另外 $n$ 人只有 $10$ 元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有 $10$ 元的人买票，售票处就有 $5$ 元的钞票找零？
一位大城市的律师在她住所以北 $n$ 个街区和以东 $n$ 个街区处工作。每天她走 $2n$ 个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
在圆上选择 $2n$ 个点,将这些点成对连接起来使得所得到的 $n$ 条线段不相交的方法数?
给定 $n$ 个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？

代码实现

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        // 在这里需要用 long 类型防止计算过程中的溢出
        long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int) C;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度 : $O(n)$ ，其中 $n$ 表示二叉搜索树的节点个数。我们只需要循环遍历一次即可。
空间复杂度 : $O(1)$ 。我们只需要常数空间存放若干变量。