复数基本概念

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复数域

z=x+iy或者z=x+yi,i2=1z=x+iy或者z=x+yi,i^2=-1

实数x与y分别称为复数z的实部和虚部,记作

x=Rez,y=Imzx=Re z,y=Im z

虚部为零的复数就可以看作实数,虚部不为零的复数称为虚数

x+iyxiy称为互为共轭复数x+iy和x-iy称为互为共轭复数

复数运算

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2y1y2)+i(x1y2+x2y1)z1z2=x1+iy1x2+iy2=(x1+iy1)(x2iy2)(x2+iy2)(x2iy2)=(x1x2+y1y2)+i(x2y1x1y2)x22+y22,z20z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2)\\ z_1 z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{(x_1x_2+y_1y_2) + i(x_2y_1-x_1y_2)}{x^{2}_{2}+y^{2}_{2}},z_2\neq0

复平面

复数的模与辐角

r=z=x2+y20r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geqslant0
tanθ=yx,称为复数z的辐角(Argument),记作θ=Argz\tan\theta=\frac{y}{x}, 称为复数z的辐角(Argument),记作\theta= Arg z

我们知道,任一非零复数z有无穷多个辐角,今以arg z表示其中的一个特定值,并称合条件

π<arg zπ-\pi <arg\ z \le\pi

的一个为Arg z的主值,或称之为z的主辐角。

θ=Arg z=arg z+2kπ,k=0,±1,±2,\theta=Arg\ z=arg \ z + 2k\pi,k=0,\pm1,\pm2,\cdots

当z=0时,辐角无意义。

单位复数

z=r(cosθ+isinθ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

当r=1时,有

z=cosθ+isinθz=\cos\theta+i\sin\theta

称为单位复数。

eiθ=cosθ+isinθ (欧拉公式)e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \ (欧拉公式)
eiθ1eiθ2=ei(θ1+θ2)eiθ1eiθ2=ei(θ1θ2)e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}\\ \frac{e^{i\theta_{1}}}{e^{i\theta_{2}}}=e^{i(\theta_1-\theta_2)}

复数的指数形式

z=reiθz=re^{i\theta}

也就是说,任一非零复数z总可以表成

z=zei arg zz=|z|e^{i \ arg\ z}

复数乘法与旋转

z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2)z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1θ2)z_1z_2=r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1 +\theta_2)}\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}
z1z2=z1z2,z1z2=z1z2,z20\therefore |z_1z_2|=|z_1||z_2|,|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|},z_2 \neq 0

所以两个复数相乘相当于模相乘,辐角相加,相除就是模相除,辐角相减

特别的我们拿i乘以一个复数

iz=i(x+iy)=y+ixiz=i(x+iy)=-y+ix

复数的乘幂与方根

zn=(reiθ)n=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ),z0zn=znArg zn=nArg zz^{n}=(re^{i\theta})^{n}=r^{n}e^{in\theta}=r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta),z \neq0\\ \therefore |z^{n}|=|z|^{n}\\ Arg\ z^{n}=nArg\ z

r=1,就是棣莫弗公式

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(\cos\theta + i\sin \theta)^{n}=\cos n\theta + i\sin n\theta
复数wn次方就是复数z,求出复数wwn=z,z0,n2,整数复数w的n次方就是复数z,求出复数w\\ w^{n}=z,z \neq0,n \geqslant2,整数
令记其根的总体为zn,z=reiθ,w=ρeiφ,ρneinφ=reiθρn=r,nφ=θ+2kπ令记其根的总体为\sqrt[n]{z},设z=re^{i\theta},w=\rho e^{i\varphi},则\\ \rho^{n}e^{in\varphi}=re^{i\theta}\\ \therefore \rho^{n}=r,n\varphi=\theta+2k\pi
ρ=rn=znφ=θ+2kπn\therefore \rho =\sqrt[n]{r} =\sqrt[n]{|z|} \\ \varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n}

所以z的n次方根为

wk=ρeiφ=rneiθ+2kπn=ei2kπnrneiθn,k=0,±1,±2,w_k=\rho e^{i\varphi}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\cdot\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}},k=0,\pm1,\pm2,\cdots

把上面的式子改为

wk=ei2kπnw0w0=rneiθnw_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}\cdot w_0\\ w_0=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}}
wk就是在复平面内由w0依次绕原点旋转2πn,22πn,32πn,w_k就是在复平面内由w_0依次绕原点旋转 \frac{2\pi}{n},2\cdot\frac{2\pi}{n},3\cdot\frac{2\pi}{n},\cdots

复数乘法与矩阵

假设复数p=a+bi,乘上复数q=rcosθ+irsinθpq=arcosθbrsinθ+(arsinθ+brcosθ)i=a+bi用矩阵表示[ab]=[cosθsinθsinθcosθ][arbr]假设复数 p = a+bi,乘上复数q=r\cos \theta +i r\sin\theta\\ pq=ar\cos\theta-br\sin\theta+(ar\sin\theta + br\cos\theta)i=a^{'}+b^{'}i\\ 用矩阵表示\\ \left[ \begin{matrix} a^{'}\\ b^{'} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \right]\cdot\left[ \begin{matrix} ar\\ br \end{matrix} \right]
这不就是二维空间中点(a,b)绕原点逆时针旋转θ角吗,模长也扩大了r这不就是二维空间中点(a,b)绕原点逆时针旋转\theta角吗,模长也扩大了r倍

www.youtube.com/watch?v=lKI…