阅读 9061

【动态规划Day Six- 不同路径 II 】

“小王、小张、小赵三个人是好朋友,他们中间其中一个人下海经商,一个人考上了重点大学,一个人参军了。此外他们还知道以下条件:小赵的年龄比士兵的大;大学生的年龄比小张小;小王的年龄和大学生的年龄不一样。请推出这三个人中谁是商人?谁是大学生?谁是士兵?

633.jpg

本文旨在记录一些关于dp的训练题,如果你对动态规划不熟悉,望转到该篇

----

我是怎么向5岁侄女解释动态规划的?

----

刷题之路,任重而道远啊

什么题可以选择动态规划来做?

1.计数

  • 有多少种方式走到右下角
  • 有多少种方法选出k个数是的和是sum

2.求最大值最小值

  • 从左上角走到右下角路径的最大数字和
  • 最长上升子序列长度

3.求存在性

  • 取石子游戏,先手是否必胜
  • 能不能选出k个数使得和是sum

题目一

63. 不同路径 II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径?

63.jpg

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1:

631.jpg

输入:obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]

输出:2

解释:

3x3 网格的正中间有一个障碍物。

从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径:

\1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下

\2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

632.jpg

输入:obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]

输出:1

提示:

m == obstacleGrid.length

n == obstacleGrid[i].length

1 <= m, n <= 100

obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

本题与

---

我是怎么向5岁侄女解释动态规划的?

---

里的不同路径1,大致相同,只是增加了障碍物,我们做一下没有障碍物的判断就行了。

2.1. 动态规划组成部分1:确定状态

最后一步

无论机器人用何种方式到达右下角,总有最后挪动的一步:-向右或者向下

如果所示,我们设右下角的坐标为(m-1,n-1)

那么最后一步的前一步机器人的位置在(m-2,n-1)或者(m-1,n-2)

子问题

那么,如果机器人有x种方式从左上角走到(m-2,n-1), 有Y种方式从左上角走到(m-1,n-2), 则机器人有X+Y的方式走到(m-1,n-1)

问题转化为,机器人有多少种 方式从左上角走到(m-2,n-1)或者(m-1,m-2)

如果走到是(m-2,n-1)如图:

634.jpg

我们可以直接干掉最后一列

同理如果是走到(m-1,n-2)行就减少一行。

状态

设f[i][j]为机器人有多少种方式从左上角走到(i,j)

2.2. 动态规划组成部分2:转移方程

对于任意一个格子:

f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]

1 2 3

1代表机器人有多少种方式走到[i][j]

2代表机器人有多少种方式走到f[i-1][j]

3代表机器人有多少种方式走到f[i][j-1]

2.3. 动态规划组成部分3:初始条件和边界情况

初始条件:f[0][0]=1,因为机器人只有一个方式到左上角

边界情况:i=0或j=0,则前一步只能有一个方向过来,也就是说第0行或者第0列,每走一步只有一种情况,则f[i][j] = 1,其他区域都满足转移方程。

如果遇到障碍物,f[i][j] = 0。

3.4. 动态规划组成部分4:计算顺序

按行计算,为什么按行计算呢?

对于这道题来说,按行计算在计算到f[1][1]时,f[0][1]和f[1][0]都已经计算了,同样按列计算这两坐标也计算了,不用再次计算。

  • f[0][0] = 1 如果第一个是障碍物f[0][0]=0
  • 计算第0行:f[0][0],f[0][1],...,f[0][n-1]
  • 计算第1行:f[1][0],f[1][1],...,f[1][n-1]
  • ...
  • 计算第m-1行:f[m-1][0],f[m-1][1],...,f[m-1][n-1]

时间复杂度:O(mn)

635.jpg

参考代码

class Solution {
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
    if (obstacleGrid == null || obstacleGrid.length == 0) {
        return 0;
    }

    // 定义 dp 数组并初始化第 1 行和第 1 列。
    int m = obstacleGrid.length, n = obstacleGrid[0].length;
    int[][] dp = new int[m][n];
    for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }
    for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) {
        dp[0][j] = 1;
    }

    // 根据状态转移方程 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 进行递推。
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            if (obstacleGrid[i][j] == 0) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1];
}
复制代码

简单说一下滚动数组的版本,当我们知道当前位置的最多路径数时,我们去求下一个位置的路径数,只需要知道左边和上边的可以了,空间复杂度为o(m)

参考代码

  public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
    int n = obstacleGrid.length, m = obstacleGrid[0].length;
    int[] f = new int[m];

    f[0] = obstacleGrid[0][0] == 0 ? 1 : 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
                f[j] = 0;

            } else 
            if (j - 1 >= 0 && obstacleGrid[i][j - 1] == 0) {
                f[j] += f[j - 1];
            }
        }
    }

    return f[m - 1];

}
复制代码

热门推荐:

文末福利,最近整理一份面试资料《Java面试通关手册》,覆盖了Java核心技术、JVM、Java并发、SSM、微服务、数据库、数据结构等等。获取方式:GitHub github.com/Tingyu-Note…,更多内容陆续奉上。

文章分类
后端
文章标签