S02E03：射线与射线最近点的坐标

说明

前面我们已经说过了，如何求：点到射线的最近点坐标。接下来，我们更进一步，来探讨下，如何求射线与射线最近点的坐标。在此过程中，我们需要用到点到射线最近点，直线与直线最近点等知识。

几何

为了简化理解，我们先介绍二维情况下，射线与射线的位置关系，再推广到三维。先来看看给定一条射线，那么到射线上距离相等的点，都在哪里。可以看到，到射线 AB 距离相等的点，在二维空间中构成了一个圆角矩形（三维空间中类似胶囊的形状）。

第一种情况

现在我们来考虑第一种情况：什么时候，另一个射线的起点就是离射线 AB 的最近点？也就是说：另一个射线的方向，离射线 AB 越来越远。

如下图，我们先假设，另一条射线起点是点 C，它到射线 AB 的最近点是 T。那么，当从点 C 出发的射线，与向量 TC（从 T 出发，指向 C）方向一致时，就是远离。也就是向量点乘为正时，即远离。

再假设，如果另一条射线起点是点 L，它到射线 AB 的最近点是 A，也就是射线 AB 的起点。那判断标准也是一样，当从点 L 出发的射线，与向量 AL 点乘结果为正时，就远离。

以上情况，在二维平面上，表现为一个半圆，在三维空间中则是一个半球，即当另一条射线方向落在外半球时，即为远离射线 AB。

第二种情况与第三种

这两种情况，分别是：另一条射线指向射线 AB 的负方向，也就是，最近点是点 A 到另一条射线上的点；另一条射线与射线 AB 有交叉，三维空间中可能不一定交叉，但可简化为：直线到直线的最近点来求解。

我们先来考虑起点是点 C 时的情况，这两种情况如何区分呢？从下图看出，分界线就是点 A 与点 C 的连线，那么如何判断它们的位置关系呢，尤其是在三维空间中，更为困难

为了解决这个问题，我们必须回到三维空间中，我们可以构造一个平面，过 AC，并垂直于 ABC 所在平面，利用平面的法线，来判断射线 CH、CI 的方向。

如下图，我们先用 AB、AC 的叉乘，得到 AR，再用 AR、AC 叉乘，就可以得到 AS，这就是我们要的法线。射线 CG、CH、CI，分别与向量 AS 点乘，如果为正，说明指向了射线 AB 的负方向（情况二）；如果为负，则说明靠近射线 AB 的正方向（情况三）：

那么当射线起点是点 L 时，上面方法还适用么？当然是适用的。我们先利用 AB、AL 叉乘，得到 AU，再用 AU、AL 叉乘，得到向量 AV，这就是我们要的法线方向。最后我们判断向量 LP、LO、LN 与 AV 的点乘，结果为正时，说明另一条射线朝向 AB 的负方向；为负时，朝向正方向，可以按两条直线的最近点处理。

三种情况总结

情况一：射线 CX 远离射线 AB，故最近点分别是：点 C，点 C 到射线 AB 的最近点；
情况二：射线 CX 朝向接近射线 AB，但指向 A 点外侧，故最近点分别是：点 A 到射线 CX 的最近点，点 A；
情况三：射线 CX 朝向接近射线 AB，并指向 A 点内侧，故最近点分别是：直线 CX 与直线 AB 的最近点；

代码

static func nearestPoints(ray1:Ray, ray2:Ray) -> (simd_float3, simd_float3)? {
    let nearestPointOnRay1 = nearestPointOnRay(from: ray2.position, to: ray1)
    let nearestPointToRay2Vector = ray2.position - nearestPointOnRay1
    
    if dot(nearestPointToRay2Vector, ray2.direction) >= 0 {
        // ray2 远离 ray1（情况一）
        return (nearestPointOnRay1, ray2.position)
    }
    
    let ray1ToRay2 = ray2.position - ray1.position
    let crossValueRay1 = cross(ray1.direction, ray1ToRay2)
    let faceFar = cross(crossValueRay1, ray1ToRay2)
    
    if dot(faceFar, ray2.direction) >= 0 {
        // ray2 指向了 ray1 原点的负方向（情况二）
        let nearestPointOnRay2 = nearestPointOnRay(from: ray1.position, to: ray2)
        return (ray1.position, nearestPointOnRay2)
    }
    
    // 可按直线最近点处理（情况三）
    let parallelResult = ray2.direction.almostParallelRelative(to: ray1.direction)
    let crossValue = parallelResult.crossValue
    if parallelResult.isParallel {
        // 平行
        return nil
    }
    let distanceVector = normalize(crossValue)
    
    let vector = ray1.position - ray2.position
    let dis = dot(distanceVector, vector)
    
    let point2OnPlane = ray2.position + dis * distanceVector
    
    let projectionOnLine1 = nearestPointOnRay(from: point2OnPlane, to: ray1)
    let result = projectionOnLine1.almostSamePoint(to: point2OnPlane)
    if result.isSame {
        // 垂足是 line2.position
        return (point2OnPlane,ray2.position)
    }
    let projectionVector = projectionOnLine1 - point2OnPlane
    let squared = result.distanceSquared
    
    let x1:Float = squared / dot(ray2.direction, projectionVector)
    let footPoint2 = point2OnPlane + x1 * ray2.direction
    let footPoint1 = footPoint2 - dis * distanceVector
    
    return (footPoint1, footPoint2)
}

总结

射线与射线最近点的判断，要比直线复杂很多，即使在二维平面上，也要分情况讨论。三维空间中，更是复杂，主要是想象三维位置关系非常困难，不过好在情况和二维是类似的，所以可以先在二维平面上理顺思路再考虑三维情况。