摘要
一种关于步进电机加速度计算的新算法。该算法可以将电机的速度参数化并进行实时计算。利用简单的定点数算法，该算法可以在低端MCU上运行，且不需要使用查找表。在加速度确定的情况下，该算法通过对基于时间的线性趋势进行精确近似，为电机加减速进行控制。
注意
- 这是一篇翻译。
- 原文链接在这里。
- 需要读者了解步进电机的基础知识，比如步进、微步、转矩等。可以参考这里(繁体中文)或Stepper Motor。
正文
一般认为步进电机的速度与时间之间线性趋势过于复杂，难以进行实时计算。方程8就是关于步进时延的计算。以往的解决方法之一是使用数组来存储预先计算好的线性关系数据。然而该方法缺乏弹性且占用过多内存。另一个解决方法是使用功能更强的器件，比如高端的MCU或电机控制IC，当然价格也更贵。本文提出的算法通过C语言和定点数(24.8格式)算法，提供了可以在中端PIC控制器上运行的实现。
通常MCU都集成了一个16位的时钟模块，可以用来产生周期性信号以驱动电机产生步进(或微步)。这样就将电机步进(以及步进时间)与时钟(以及时钟分辨率)相关。对于混合式步进电机，一个步进产生的转角是固定值：1.8°(也有0.9的，更精细，更平稳，当然也更贵)。这意味电机转动一圈所需要的步进为：
也即发出200个步进脉冲可以驱使电机转动一圈。
时钟频率应该尽可能的高，同时也要在电机从静止开始加速这一时间内，为电机提供足够长的时延(保证有足够长时间的步进驱动信号，信号延续时间太短的话，电机没有足够的能量做出动作)。比如可以使用频率为1MHz的时钟。这样一个最大速度为 300 rpm (每分钟转速)的电机需要一个等效为 1000 的时延(也即累积1000个时钟脉冲信号)方才产生一个驱动信号。为了使高速运转的电机仍能平滑的加速，一个较高的时钟频率是非常有必要的。
注意
- 关于步进电机加速度控制的实现，请参考：AccelStepper(C++)。
基本方程
方程1：脉冲的时间
产生 c 个时钟脉冲所需要的时间为：
方程1
ƒ：时钟频率，单位为赫兹(Hz)。 c：时钟脉冲个数。
例子 ƒ = 1MHz c = 1000 则所需时间为：
方程2：电机的速度
电机的速度通常使用角速度来描述(因为电机运动模式是转动)。角速度单位为 弧度每秒：rad/s。在 c 个时钟脉冲内，电机的角速度 ω 方程为：
方程2
α:电机步进角，单位为弧度：rad。 1 rad = 180 / π = 57.3° 1 rad/s = 30 / π = 9.55 rpm
方程3：加速度
在两个连续驱动脉冲 c1 和 c2 内,加速度 ω’ (单位为rad/s2) 为:
例子 c1=1000 c2=2000 ƒ=1000000MHz
则加速度为：
对于一个线性变化的速度／时间关系，为便于计算，方程3假定在每一个步进脉冲间隔内，电机是均速转动的(实际上并不是)，这个速度取自间隔的中间点。如图1所示：
图1：线性关系：移动距离：m =12 steps。
注意 ω’ 与速度直方图成反比关系。
方程4：速度线性趋势的精确计算
在速度的线性趋势图中，加速度 ω’ 为常量。某一时刻的速度为：ω(t)=ω’ t。结合电机某时刻已转过的角度 θ(t)，有：
同样，亦有：
其中，n≥0，为实际情况下的步进数。此时电机位于角度θ=nα。结合两式，则可推导出方程5。
方程5：步进所用的时间
驱动电机逐行 n 个步进所用的时间为：
方程6：两次步进之间的时钟脉冲数量
在第 n 个(n≥0)与第 n+1 个步进信号之间，间隔的时钟脉冲数量为：
方程7：第一个步进需要的时钟脉冲
初始时钟脉冲 c0 由方程7得出。
方程8：第n步进需要的时钟脉冲
注意 c0 设置了加速度，等比于
在实际情况下，在每一次步进时都要使用方程8进行平方根计算，这会有精度损失，并且方程中的减法会进一步导致精度下降。
方程9：连续两次步进之间的线性关系
对线性趋势进行近似，根据 方程8 比较前后两个步进所需时钟脉冲，得到：
方程10：泰勒级数
后续会使用泰勒级数对方程9进行近似计算。
方程11：近似
使用方程10对方程9进行二次近似，得到方程11：
注意 关于近似理论，请参考这里。
方程12
为便于计算，对方程11进行移项，得到方程12：
方程13
最终，对方程12进行整理，建立与实际物理意义无关的一般意义方程：方程13。方程中使用 i 表示从 0 开始的第 n 个步进。对于给定的加速度，n决定了第 i 次的速度增量。当从静止开始加速时，ni=i, i=1, 2, ...。
方程14
n值取负表示减速。特别地，对于方程14,当 ni=i-m，在总计m个步进中，可以用于减速直到停止。
方程15：近似算法的精度问题
近似算法的精度可见下表：
| 步进n | 精确(方程9) | 近似(方程11) | 相对误差 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.4142 | 0.6000 | 0.4485 |
| 2 | 0.7673 | 0.7778 | 0.0136 |
| 3 | 0.8430 | 0.8462 | 0.00370 |
| 4 | 0.8810 | 0.8824 | 0.00152 |
| 5 | 0.9041 | 0.9048 | 7.66E-4 |
| 6 | 0.9196 | 0.9200 | 4.41E-4 |
| 10 | 0.9511 | 0.9512 | 9.42E-5 |
| 100 | 0.9950 | 0.9950 | 9.38E-8 |
| 1,000 | 0.9995 | 0.9995 | 9.37E-11 |
表1：近似算法的精度 表1显示近似算法是精确的，即使是在步进 n 较小时。并且,相对误差以 n3 的速度缩小。然而，当 n=1 时误差则相当大。可以使用以下两个方法来减小 n=1 的误差：
- 将 n=1 作为特殊情况处理。使用 c1=0.4056⋅c0 作为不精确的起始值，并且使用方程7来计算 c0。
- 忽略 n=1 的不准确性。用方程15来代替方程7。
疑问 如何得到0.4056和0.676这两个常数？是通过不断尝试、比较，还是使用了魔法？
前一种方法测能够得到几乎完美的线性趋势。
后一种方法则能更快的启动。好处是能帮助电机运转：步进电机依靠0-1脉冲产生步进，由此获得转矩，当然转角误差也随之而来。同时可以在16位时钟上允许更大范围的加速度，并且还有简单方便的优势。因此，推荐使用这种方式，并忽略 **n=1** 时的不精确(`这样做真的好么？`)。
图2：步进电机速度趋势
图3：趋势上行开始时
图4：趋势上行结束时
图2到图4是应用以上几种方法对目标电机在 1 秒内从 0 rpm 加速到 120 rpm的比较。为清楚起见，基于方程2计算并展示了步进在速度上变化。理想的趋势应该接近一条直线。
在方程12中， 可以近似为
。这样产生的效果就是：
- 算法的趋势仍旧是线性的。
- c0 更接近方程7显示的“真实值”：对于同样的加速度，c0 为真实值的88.6%，原来是66.7%。
- 加、减速计算不能再使用单个方程比如方程13。
方程16：计算步进数的函数
从方程4和方程5可得到根据速度和加速度计算步进数 n 的函数：
方程17
由方程16，得到方程17，并推断达到某一给定速度所需要的步进数是反比例于加速度的：
这使得在某一时间点改变加速度成为可能：通过改变方程13中的步进数 n。更进一步，使用带符号的 ω’ 值使得带符号的步进值 n 可得到正确的计算结果。此时仅有 ω’=0 时需要特殊处理。这样就可以加减速了。
方程18
方程17提供的步进值 n 对 tn 是正确的．然而，cn 本身就是间隔 tn...tn+1 内的平均值。故而，虽然方程17已足够精确，但在步进值 n 上加一个半步长可以获得更精确的结果：
表2显示了改变加速度引起的数值变化：从 10 到 5 又在第200步时到 -20。这是一种对复杂变化进行分段分析的方法：
| 步进i | ni | ci(方程13) | ω’(方程3) | 备注 |
|---|---|---|---|---|
| 198 | 198 | 2,813.067 | ||
| 199 | 199 398.5 -100.25 | 2,806.008 | 10 | |
| 200 | 399.5 | 2,803.498 | 5 | |
| 201 | 400.5 | 2,799.001 | 5 | 同上 |
| 200 | -99.25 | 2,820.180 | -20 | |
| 201 | -98.25 | 2,834.568 | -20 | 同上 |
方程19：减速
在加减速的线性趋势中，当进行 m 步的短距离移动时，如果加速时(趋势上行)某点 ω’1 与减速时(趋势下行)某点 ω’2 重合，而此时电机尚未达到最大速度，也即，加速到中途就需要减速，此时，根据方程17，得到方程19来计算减速所需要的步数：
ω’1：加速度。 ω’2：减速度(负的加速度)。 对 n 取整，套用方程14可计算出 cn...cm-1。
- 其它情况 对于其它情况，可用方程17或方程18进行这样的计算： 电机在某一加速度 ω’1 下运行了n1 步后达到某一速度，此时开始使用减速度 ω’2，求电机从运行到停止所需要的步进数 n2。对 n2 取整并应用 方程14 可计算出 c1...cm-1。
