AcWing 基础算法（二）笔记

不要努力成为一个成功者，要努力成为一个有价值的人。——爱因斯坦

高精度加法

一般高精度的问题都是用数组形式倒序存储数字的每一位
倒序是因为便于进位的处理

加法模版

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

AcWing 791. 高精度加法

核心：
t = A[i] + B[i] + carry
当前位 = t % 10
carry = t / 10

给定两个正整数，计算它们的和。

输入格式
共两行，每行包含一个整数。

输出格式
共一行，包含所求的和。

数据范围
1≤整数长度≤100000
输入样例：
12
23

输出样例：
35

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size () < B.size()) return add(B, A);
    
    vector<int> c;
    int t = 0; // 进位
    
    for (int i = 0; i < A.size(); i++)
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    if (t) c.push_back(1);
    return c;
}

int main()
{
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A, B;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
    
    auto c = add(A, B);
    for (int i = c.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]);
    return 0;
}

高精度减法

减法模版

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

AcWing 792. 高精度减法

核心：
t = A[i] - B[i] - carry
当前位 = t < 0 ? (t + 10) : t
是否借位：t < 0 ? 1 : 0

给定两个正整数，计算它们的差，计算结果可能为负数。

输入格式
共两行，每行包含一个整数。

输出格式
共一行，包含所求的差。

数据范围
1≤整数长度≤105
输入样例：
32
11

输出样例：
21

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        if (A[i] != B[i]) return A[i] > B[i];
    }
    return true;
}

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> c;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i++)
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        c.push_back((t + 10) % 10);
        t = t < 0 ? 1 : 0;
    }
    while (c.size() > 1 && c.back() == 0) c.pop_back();
    return c;
}

int main()
{
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A, B;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
    
    vector<int> c;
    if (cmp(A, B))
    {
        c = sub(A, B);
    }
    else
    {
        printf("-");
        c = sub(B, A);
    }
    for (int i = c.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]);
    return 0;
}

高精度乘法

高精度乘低精度模版

// C = A * b, A >= 0, b > 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

AcWing 793. 高精度乘法

核心：
t = A[i] * b + carry
当前位 = t % 10
carry = t / 10

给定两个正整数A和B，请你计算A * B的值。

输入格式
共两行，第一行包含整数A，第二行包含整数B。

输出格式
共一行，包含A * B的值。

数据范围
1≤A的长度≤100000,
0≤B≤10000

输入样例：
2
3

输出样例：
6

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> c;
    int t = 0;
    
    for (int i = 0; i < A.size(); i++)
    {
        t += A[i] * b;
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    if (t) c.push_back(t);
    while (c.size() > 1 && c.back() == 0) c.pop_back();
    return c;
}

int main()
{
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    
    auto c = mul(A, b);
    for (int i = c.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]);
    return 0;
}

高精度除法

高精度除以低精度模版

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

AcWing 793. 高精度除法

核心：
t = r * 10 + A[i]
当前位 = t / b
余数 r = t % b

给定两个非负整数A，B，请你计算 A / B的商和余数。

输入格式
共两行，第一行包含整数A，第二行包含整数B。

输出格式
共两行，第一行输出所求的商，第二行输出所求余数。

数据范围
1≤A的长度≤100000,
1≤B≤10000
B 一定不为0

输入样例：
7
2

输出样例：
3
1

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> c;
    r = 0;
    
    // 除法从高位开始计算
    for(int i = A.size() - 1;i >= 0; i--)
    {
        r = r * 10 + A[i];
        c.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(c.begin(), c.end());
    while (c.size() > 1 && c.back() == 0) c.pop_back();
    return c;
}

int main()
{
    string a;
    int b, r;
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    
    auto c = div(A, b, r);
    for (int i = c.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]);
    puts("");
    cout << r << endl;
    return 0;
}

前缀和

前缀和：s[i] 为 1 ～ i 的元素和
作用：在 O(1) 的时间内求 [l, r] 范围内的元素和

一维前缀和模版

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

AcWing 795. 前缀和

输入一个长度为n的整数序列。

接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。

对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数数列。

接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：
3
6
10

#include <iostream>

using namespace std;

int const N = 100010;

int a[N], s[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    // 这里可以直接用 s[N] 数组，不借用 a[N]，主要是为了便于理解
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    // 前缀和预处理
    for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] += s[i - 1] + a[i];
    
    while (m--)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    return 0;
}

二维前缀和模版

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

AcWing 796. 子矩阵的和

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式
第一行包含三个整数n，m，q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：
17
27
21

#include <iostream>

using namespace std;

int const N = 1010;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++) cin >> a[i][j];
    }
    // s[i][j] 预处理
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++) s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
    }
    
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }
    return 0;
}

差分

a[i] = b[1] + b[2] + ... + b[i]
a 为 b 的前缀和、b 为 a 的差分
作用：在 O(1) 的时间内对 [l, r] 的范围内数做操作

一维差分模版

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

Acwing 797. 差分

输入一个长度为n的整数序列。

接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数序列。

接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。

输出格式
共一行，包含n个整数，表示最终序列。

数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：
3 4 5 3 4 2

#include <iostream>

using namespace std;

int const N = 100010;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]);
    
    while (m--)
    {
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        insert(l, r, c);
    }
    
    // 获取 b[i] 的前缀和数组
    for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i - 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);
    return 0;
}

二维差分模版

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

AcWing 798. 差分矩阵

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数n,m,q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。

输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include <iostream>

using namespace std;

int const N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++) cin >> a[i][j];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++) insert(i, j, i, j, a[i][j]);
    }
    
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++) b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++) printf("%d ", b[i][j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}