Matlab建模—导弹追踪问题

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数学建模期末复习,撰写博客做总结之用,主要侧重于算例的模型建立与部分代码的实现,其中不足之处望读者多多指正。

Matlab微分求解工具箱使用

  • 求数值解

dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)

  • 求解析解

[t,x]=solver(’f’,ts,x0,options)

详细的使用说明可参考博文Matlab微分方程求解

导弹问题

问题介绍

  • 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹,导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0v_0(常数)沿平行于y轴的直线行驶,导弹的速度是5v0v_0,求导弹运行的曲线方程.乙舰行驶多远时,导弹将它击中? 在这里插入图片描述

模型建立与求解

1. 解析法

模型建立:设t时刻导弹的位置为P(x(t),y(t)),乙舰位于Q(1,V0tV_0t),由题(导弹头始终对准乙舰)可得,导弹在运动弧线p点处的切线y=v0ty1xy^{\prime}=\frac{v_{0} t-y}{1-x}v0t=(1x)y+y(1)v_{0} t=(1-x) y^{\prime}+y(1) 又由题意(导弹速度是舰的5倍)故有:0x1+y2dx=5v0t(2)\int_0^x {\sqrt {1 + y{'^2}} } {\rm{d}}x = 5{v_0}t (2) 有(1)(2)式可得微分微分方程为:(1x)y=151+y23(1-x) y^{\prime \prime}=\frac{1}{5} \sqrt{1+y^{\prime 2}}(3) 初值方程为:y(0)=0y(0) = 0y(0)=0y'(0) = 0,利用Matlab求解可得:y=58(1x)45+512(1x)65+524y = - \frac{5}{8}{(1 - x)^{\frac{4}{5}}} + \frac{5}{{12}}{(1 - x)^{\frac{6}{5}}} + \frac{5}{{24}}

2. 数值解法

将上述方程化为一阶方程,不妨设y1=y,y2=yy_1=y,y_2=y',代入(3)中得到{y1=y2y2=151+y12/(1x)\left\{\begin{array}{l}y_{1}^{\prime}=y_{2} \\ y_{2}^{\prime}=\frac{1}{5} \sqrt{1+y_{1}^{2}} /(1-x)\end{array}\right. 利用Matlab求解:

%定义函数
function dy=eq1(x,y)
    dy=zeros(2,1);
    dy(1)=y(2);
    dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);
end

调用
x0=0;
xf=0.9999;
[x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]);
plot(x,y(:,1),'-') 
hold on
y=0:001:2;
plot(1,y,'*')

在这里插入图片描述 由图可得,导弹大致在点(1,0.2)处击中乙舰。

3. 参数方程

上述结题假设不变,在此基础再将导弹的速度设为ww,则在P点处有:(dxdt)2+(dydt)2=w21{({{{\rm{d}}x} \over {{\rm{d}}t}})^2} + {({{{\rm{d}}y} \over {{\rm{d}}t}})^2} = {w^2}(1) 同时,导弹始终对准乙舰,即导弹速度向量与乙舰的位置向量平行,故有:

\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{l} X-x \\ Y-y \end{array}\right), \quad \lambda>0(2)$$ 将 $$\left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=\frac{w}{\sqrt{(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}}}(X-x) \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\frac{w}{\sqrt{(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}}}(Y-y) \end{array}\right.(3)$$ 不妨假设乙舰速度为1,则w=5,X=1,Y=t,此时导弹的参数轨迹为: $$\left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=\frac{5}{\sqrt{(1-x)^{2}+(t-y)^{2}}}(1-x) \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=\frac{5}{\sqrt{(1-x)^{2}+(t-y)^{2}}}(t-y) \\ x(0)=0, y(0)=0 \end{array}\right.$$ matlab求解: ```php function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2); dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2); end %调用 [t,y]=ode45('eq2',[0 2],[0 0]); Y=0:0.01:2; plot(1,Y,'-') hold on plot(y(:,1),y(:,2),'*') ``` ![在这里插入图片描述](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/c12063ad33dd4333b64448e9ae4d3075~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) 由图可得,导弹最终大致在(1,0.2)处命中目标。这里还以尝试用二分法的思想进一步得到更精确的答案,……tf=0.21是可得求解图像为: ![在这里插入图片描述](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/b4f9a6123c24433383fcd64a18b1adfa~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) 据此可得更为精确的答案。