1.前言
今天聊一聊动态规划的问题，动态规划问题的一般形式就是求最值。在这类问题中，可能会有多个解，但是我们希望找到最优的解。
动态规划算法与前面的分治算法类似，基本思想也是将求解的问题分解为子问题求解。与分治算法不同的是，适合动态规划算法来求解的问题，分解得到的子问题太多，有的子问题还会被重复计算很多次。如果把计算过的子问题的结果保存，就能够避免大量重复的计算，这就是动态规划算法的基本思想。
解决动态规划问题的三步骤一般如下：
a.找子问题；
b.定义状态；
c.列状态（DP）方程；
本文将解决两个动态规划问题，来理解动态规划问题的解法，希望对你有帮助。
2.一维动态规划
我将动态规划问题按照难易程度分为一维和二维，先来看看一维吧。其实求解动态规划问题最重要的就是列出状态方程，也叫DP方程，我接触到的第一个动态规划问题就是「爬楼梯」问题，接下来就来看看「爬楼梯」问题~
这是一个简单的动态规划问题，首先来列出它的DP方程。因为每次可以爬1或2个台阶，所以到第n阶时，只能从n-1阶或n-2阶爬到n阶梯，假设到n阶有f(n)种方式，于是有这样的方程：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，当n=1或n=2时，f(1) = 1;f(2)=2，于是该题的状态方程如下：
根据状态方程写代码如下：
public int climbStairs(int n) {
if(n==1||n==2){
return n;
}
return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
}
其实这就是用分治的方法去求解的，很多重复的子问题都重复的去计算了，下面就来优化一下，前面也说到了把计算过的子问题保存起来，就能避免大量的重复计算。这里用一个数组来存储计算结果，由上面的DP方程去递推后面的结果。
public int climbStairs1(int n) {
if(n==1||n==2){
return n;
}
int[] arr = new int[n+1];
arr[0] = 1;
arr[1] = 2;
for (int i=3;i<arr.length;i++){
//递推
arr[i] = arr[i-1]+arr[i-2];
}
//返回结果
return arr[n-1];
}
通过用数组来存储，就大大的降低了计算的时间复杂度。
3.二维动态规划
接下来看看二维动态规划，所谓二维动态规划，就是二维数组的DP方程，直接进入主题，来看一个例题。
这个问题我用二维数组来解，主要想说明解决动态规划中的三要素：「子问题」「状态」「状态方程」。
首先找一下子问题：小偷偷或者不偷第n间房子；
再来定义一下状态：偷、不偷就是两个状态，可以分别用1、0表示；
最后列DP方程：
a.偷第i间房子时：第i-1间房子不能偷，偷的总金额最大值：Math.max(f(i,1) = f(i-1,0)+nums[i]，f(i-1,0))
b.不偷第i间房子时：第i-1间房子必偷，偷的总金额最大值：f(i,0) = f(i-1,1)
接下来写代码：
public static int rob(int[] nums) {
if(nums.length==0){
return 0;
}
int[][] dp = new int[nums.length][2];
//定义第一件房子偷或者不偷
dp[0][1] = nums[0];
dp[0][0] = 0;
for(int i=1;i<nums.length;i++){
//第i间房子偷，最大总金额
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][0]+nums[i],dp[i-1][1]);
//第i间房子不偷，最大总金额
dp[i][0] = dp[i-1][1];
}
//返回最大值
return Math.max(dp[nums.length-1][1],dp[nums.length-1][0]);
}
这个问题在LeetCode上很多题解用到了滚动数组，但是这里用了二维数组去求解，主要是去理解怎么去定义问题的状态，然后列状态转移方程，这也是最重要的，然后一步一步优化，不然一上来就给个最简洁的写法，也是很懵逼的。
总结
动态规划三步骤：1.找子问题；2.定义状态；3.列DP方程。
最最最重要的就是列DP方程了，当一个问题不是那种很明显的动态规划的问题时，可以考虑升维去解题，即列二维状态方程。好了，今天的动态规划就聊到这里了，你学废了吗？
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