Manacher算法

关键词

字符串、回文、子串、线性复杂度

快速找到一个字符串的最大回文子串

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(N)

从头到尾遍历字符串，对于每个元素x：

从x开始向左右扩展，直到左右元素不相等或抵达字符串边界

时间复杂度：O( $N^2$ )

空间复杂度：O( $N$ )

考虑在从前往后遍历x时，前边迭代中的信息有可能对后边的迭代有帮助，因此可以想办法用到这些信息来减少复杂度。

在从前往后扩展x时，对于每个x，记录下它扩展了多少位，存放在数组d中。则我们只要求出d数组，就等于求出了所有的回文子串。
考虑对于一个回文字符串a，容易知道它是对称的。因此，设a[i],a[j]关于字符串的中心对称，那么a[i]和a[j]能够向左右扩展的位数，应该是一样的。
因此我们在进行中心扩展时，维持一个记录右边界最大的回文子串（通俗的讲，就是前边扩展的时候，把能扩展到最右边的子串给记下来）。
那么在进行后边的扩展时，如果这次的中心不在之前“维护的那个回文子串”里，我们就只能按一般地方法去中心扩展。但是如果它在之前“维护的那个回文子串”里，我们就可以利用第二条的结论，通过它对称位置记录的d，得到它在这个回文子串里的最大回文子串（注意理解，此处比较绕）
理解了上条，你会发现有点不对：我要求的是在整个字符串的最大回文子串，你只给我求出在之前“维护的那个子串”里的子串是怎么回事。
因此我们在进行了上一步的操作后，只需要从“维护的子串”的边界继续向外扩展就可以了。