2021 新一年的期望!谈谈数学期望在生活中的应用 | 掘金年度征文

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2021 年到来了,有时会感叹时间过得真快。在 2020 年,对于大部分人来说都增加了两个额外的东西:口罩和健康码。一些事情的发生,悄然改变了我们的生活,推动着我们向前。

本来是打算在这几天写写 2020 年的总结,以及新一年的计划,虽然变化总会比计划来得频繁,但是梦想总是要有的。

所以今天这篇文章不是服务端开发的技术。讲讲看到的一个有趣的事情,这几天偶然出去逛商场小吃街,门槛不高但是看着很划算的抽奖游戏,奖品是毛绒娃娃,摊边俨然聚集了很多的男女青年和小孩。

今天和大家简单地来计算下这种游戏的中奖率如何,通过计算期望,看看我们是如何掉入陷阱亏钱的。

游戏规则

一个很大的骰子,丢骰子,10 元一次,规则如下:

  • 先丢一个骰子,用于决定幸运数字
  • 再丢一个骰子,用于决定中奖数字

对应关系如下:

幸运数字中奖数字中奖礼品
11 2 3 4 5 6价值 6.8 的小毛绒娃娃
21 2 3 4 5价值 10.8 的小毛绒娃娃
31 2 3 4价值 18.8 的小毛绒娃娃
41 2 3价值 25.8 的毛绒娃娃
51 2价值 36.8 的毛绒娃娃
61价值 46.8 的大毛绒娃娃

作为一个参与者,我们能不能参加这个游戏呢?下面我们来计算下。

思路分析

能不能参加游戏,主要是看划不划算,除了运气的因素之外,我们要考虑的是中奖率,中奖率有多高,我们回本的概率有多高。

六个奖项的奖品金额按中奖金额从小到大依次是:

123456
6.810.818.825.836.846.8

把这六个中奖金额分别与本金 10 相除,就是每个个奖项对应的赔率,分别是:

123456
0.681.081.882.583.684.68

而根据游戏规则,这六个奖项的中奖概率依次是:

123456
16.67%13.89%11.11%8.33%5.56%2.78%

数学期望

大家在读书时,肯定都学过数学期望的概念。期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

大数定律规定,随着重复次数接近无穷大,数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
在概率论和统计学中,数学期望(mean)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

因此,在我们上面的游戏中,把中奖概率和对应的赔率相乘,就得到了各个奖项的数学期望值,分别是:

123456
0.110.150.200.230.200.13

因为上面计算赔率的时候是带着本金一起算的,所以在最终算出的期望值中,1 代表了本金 10 元,期望值小于 1 的话玩家必输,大于1则必赢。所以根据以上算出的各奖项的数学期望可知,这是一个期望值还不错的游戏。

期望值公认比较低的国彩,其期望值通常也在0.5到0.6之间,体育比赛类的竞彩还可以到0.8以上。

回到这个游戏本身,问投一次不输的概率是多少?很简单,因为所有六个有五个的奖项的都高于本金10,所以中了后面五个奖项任何其中一个奖项都不输。也就是说,投一次不输的概率就是后面五个奖项的中奖概率总和,即 41.67%。

小结

当然,我们如上的计算是在游戏奖品的实际价值等于标价的前提下,如果刨除掉虚高的标价,那么我们实际的期望值计算出来必然是小于 1。

有些表面看起来的所谓高中奖率活动,我们计算一下期望以及中奖率,发现其实并不是那么回事。

不过如今的我们,物质水平提高了,花点钱买个乐趣还是挺普遍的,最重要的是开心。

最后的一点感悟是,大家在总结自己或者指定计划时,也可以根据期望的计算公式,列出每件事情的成功概率,带来的收益,算算这样的安排是否值得。

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