线性代数回顾

2021-01-03 638 阅读1分钟

向量

通常记为 $\vec{a}$ 或者a;
$\vec{AB}=B-A$ ;
有两个重要的属性: 方向和长度;
没有绝对的开始位置;
向量的长度记为 $||\vec{a}||$ ;
单位向量:
- 长度为1
- $\hat{a}=\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}$
- 被用作表示方向

向量相加

几何: 平行四边形法则和三角形法则
算术: 坐标相加

笛卡尔坐标

使用X和Y表示向量(通常是orthogonal unit)
$A=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $A^T = (x, y)$ $||A|| = \sqrt{x^2 + y^2}$

向量乘法

点乘

\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}||||\vec{b}||cos\theta

cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}||||\vec{b}||}

对于单位向量

cos\theta = \hat{a} \cdot \hat{b}

性质

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}

\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}

(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})

在笛卡尔坐标系中点乘

逐元素相乘，然后相加

-2D

\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \end{pmatrix} = x_ax_b + y_ay_b

-3D

\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b

点乘在图形学中的应用

两个向量之间的夹角(例如，光源和平面之间夹角的余弦值)
一个向量在另一个向量上的投影
衡量两个方向的接近程度
分解一个向量
决定前和后

投影

$\vec{b}_{\perp}$ : $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影
- 因为 $\vec{b}_{\perp}$ 一定沿着 $\hat{a}$ ，所以
  $\vec{b}_{\perp} = k\hat{a}$
- k的大小
  $k=||\vec{b}_{\perp}||=||\vec{b}||cos\theta$

向量的叉积

叉乘正交与两个初始向量
方向通过右手螺旋定理
在建立坐标系中非常有用

笛卡尔坐标系下

叉乘在图形学中的应用

决定左和右
决定内和外

Orthonormal Coordinate Frames

矩阵

2维数组
在图形学中，被用作表示变换(transformations)

Translation, rotation, shear, scale
$m \times n$ = m行，n列
$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$
相加和相乘一个标量，是逐元素与标量相加或者相乘

矩阵乘法

( $M \times N$ )( $N \times P$ ) = ( $M \times P$ )
相乘结果，元素(i, j)，行i来自A，列j来自B
性质:
- 无交换律
- 其他性质

转置

性质
$(AB)^T = B^TA^T$

闫令琪 <<现代计算机图形学入门>>

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