理解异或 Exclusive or

常见的逻辑操作：与、或、非大家应该都熟悉，也非常容易理解。在高中数学中也学习过一些布尔代数的知识。在逻辑电路中（位操作）与、或、非同样也非常容易理解。但是逻辑电路中增加了一个非常重要的运算异或（XOR），常见的教科书只是介绍了异或的定义，于是大多数人只记住了异或的运算规则是什么，但是对异或的含义和使用场景理解却很模糊。因此本文尝试介绍异或的意义，希望能够帮助大家理解异或。

异或的逻辑意义

先从熟悉的“或”说起，“或”表示两个条件中有一个为真，那么结论就为真。比如：当日购物金额满一千或单笔消费满五百可以参与抽奖，两个条件有一个满足结果就为真。但是我们在日常生活中还有一种“或”，两个结果不能同时成立。比如：明天我在北京或上海。我可以在北京，可以在上海，但是我不能既在北京又在上海，两个条件不能同时成立。

因此从结果上看，异或的计算规则就是如果两个条件中有一个为真，结果为真。两个都为真、都为假，结果为假。

如果从文氏图上看，两个条件里不相交的部分为真，两个条件里不一样的部分为真，把两个条件里相异的部分或起来就是真值的范围。

那为什么基础逻辑运算中没有异或呢？因为异或并不是一个基础运算，异或是一个二级运算符，可以被等价成与或非运算：

逻辑电路中的异或

计算机的数学理论基础是布尔代数，物理基础则是逻辑电路。从理论上看，逻辑运算只需要三个运算符就可以被表示，但是在工程上就要考虑另一件事了：复用！当工程师发现在计算机中需要经常用到一种复合运算，于是就把这种复合运算的函数抽取出来，单独封装。异或就是逻辑电路中的一种基础运算。最初计算机的设计目的就是为了计算产生的。计算最基础的一项功能是加法。我们观察一下加法在二进制层面的实现：

我们从最简单的个位数加法来看：

个位数字的结果就是异或运算的结果：如果两个输入相同，结果是 0；如果输入不同（有一位为 1），结果是 1。

当然还要考虑进位的情况了：

   10
+  11
-----
= 101

因此一个加法器的每一位的和等于两个数的输入、进位的异或结果。进位则等于输入数字的与结果（如果两个数字都为 1，进位为 1）。

因为计算机中的基础加法运算需要使用异或运算，因此逻辑电路中异或门是一个基本组成。

异或性质与应用

异或有一个特有的性质：计算结果由两个输入共同影响。因为结果和两个输入都有关系，如果已知异或结果和一个输入，可以逆推出另一个输入。

这个性质我们对比一下与和或：

或：只要有一个输入为 1，那么另外一个输入无论是 0 或 1 ，结果都为 1
与：只要有一个输入为 0，那么另外一个输入无论是 0 或1 ，结果都为0 （短路效应）

异或的运算结果，无论一个输入是 0 还是 1，都需要知道另外一个输入才能知道结果。有点像钥匙和锁，一定要配对后才能解锁。

异或密码

这个特性在加密算法中特别重要。我们生成了一组密钥，用这个密钥对明文进行一次异或，就得到了一个密文。只要这个密钥不泄露，那么得到了密文也无法计算出明文。如果是与，如果明文是 0，那么无论密钥是什么，运算结果都是 0。得到密钥和密文也无法逆推出明文。

异或校验

因为异或结果由两个输入共同决定，因此如果知道异或的结果，和一个输入就能知道另外一个输入是什么。比如我们知道异或结果为 1，一个输入为 0。意味着输入中有一个 1，一个为 0，那么另外一个值就是 1 了。这里再介绍两个个推论，一个数异或上自己结果为 0。因为自己和自己的每一位都是相同的，所以结果为 0。一个数异或上 0 等于自己。这两个性质叫做归零律和恒等律：

P ⊕ P = 0
P ⊕ 0 = P

下面证明一下知道异或结果和一个输入，怎么求出另外一个输入：

a ⊕ b = c
a ⊕ b ⊕ b = c ⊕ b
// 因为 b ⊕ b 结果为 0， 简化为
a ⊕ 0 = c ⊕ b
a = c ⊕ b

真巧啊！异或的结果对一个输入进行一次异或运算就能得到另外一个输入。这个性质对于数据备份真是帮了大忙了！

比如：两个 3 位二进制序列 101 和 011 进行异或奇偶校验可得到异或校验和 110。若序列 101 丢失，我们可以将已知序列 011 与异或校验和进行异或运算得到丢失的序列。

比如我们有一个硬盘的数据需要备份，但是如果每个硬盘都备份一次就太浪费了。我们可以选择两个硬盘进行异或，保存结果。只要两个硬盘不是同时坏掉那么就可以恢复数据（~~我承认我有赌的成分~~）。

面试题

面试题中有一些涉及到位运算，最高频的还是异或的运算了。典型的一题是LeetCode: 136. 只出现一次的数字：

给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

如果用常规的方法免不了需要用额外的空间来统计数字出现的次数。如果利用异或的归零律，每个数字进行异或运算，最后的结果就是只出现了一次的数字：

public int singleNumber(int[] nums) {
    int single = 0;
    for (int num : nums) {
        single ^= num;
    }
    return single;
}

这个特性还有一个更难一点的面试题是《剑指 Offer》中的 56 - 数组中数字出现的次数：

一个整型数组 nums 里除两个数字之外，其他数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)。

这题的解法也是利用异或的特性。解法是分组异或，如果我们把要找的两个数字分到两个组里，两组数字各自异或的结果就是要找的两个数字。

那么怎么把这两个数字分到两个组里呢？还是利用异或的性质：如果两个数字的异或结果为 1，说明两个数字不同。我们先求出整个数组的异或值，这个异或的值等于 a ⊕ b。然后取出结果中为 1 的位数。按照这个位数是 0 还是 1 对数组进行分组，那么这两个要找的数字就会被分到两组数字里。

public int[] singleNumbers(int[] nums) {
    int ret = 0;
    for (int n : nums) {
        ret ^= n;
    }
    int div = 1;
	// 找出异或结果中值为 1 的位数是左移第几位
    while ((div & ret) == 0) {
        div <<= 1;
    }
    int a = 0, b = 0;
    for (int n : nums) {
        if ((div & n) != 0) {
            a ^= n;
        } else {
            b ^= n;
        }
    }
    return new int[]{a, b};
}