笔记内容全部基于西安电子科技大学 鱼亮 老师的 《离散数学II》课堂内容整理
博主数学水平相当一般，内容从数学的角度来看可能相当不严谨甚至存在谬误，仅供参考。
欢迎高人指点
这里简单列一下群的主要性质等，方便阅读本文时查阅：
群，是运算可结合、存在幺元、每个元素都有逆元的代数系统；每个元素都能用其他元素表示；运算满足消去律；幺元是唯一的等幂元
循环群，其中每个元素都可以用生成元的幂次表示；循环群是阿贝尔群（运算可交换）
子群的含义
子群的载体是原群载体的子集，运算仍然封闭，每个元素都有逆元，且原群的幺元在子群中仍然存在。（子群的运算默认是可结合的，因为原群是群，群的运算必须可结合，且运算的结合律是可继承的）
平凡子群：平凡子群包括原群本身，以及载体只含一个幺元的子群（注意：群中没有零元，只有幺元，幺元是群中唯一的等幂元），例如：
群 <G,∗> 的平凡子群是 <G,∗> 和 <{e},∗>
若题目需要求一个群的子群，可以先写上两个平凡子群，然后再写一般的非平凡子群。
例：已知 <I,+> 是一个群，设集合 IE={x∣x=2n,n∈I} ，问 <IE,+> 是 <I,+> 的子群吗？
子群判定定理
定理1
已知群 <G,∗>，已知 S 是 G 的非空子集，运算 ∗ 在 S 上封闭，S 的每个元素都有逆元。则 <S,∗> 是 <G,∗> 的子群
定理2
若 <G,∗> 是群，S⊆G ， S=∅ 且 S 是有限集，则只要 ∗ 在 S 上封闭，则可确定 <S,∗> 是 <G,∗> 的子群
例：
求 <N6,+6> 的所有子群
定理3
设 <G,∗> 是一个群，S⊆G,S=∅， 对 ∀a,b∈S，若有 a∗b−1∈S，则 S 是 G 的子群
例题和其他定理
例1
设 <H,∗> 、<K,∗> 均为 <G,∗> 的子群，请证明：<H∩K,∗> 是 <G,∗> 的子群
例2
已知 <G,∗> 是群，取 ∀a∈G，令 H={x∣x∗a=a∗x,x∈G}，试证明：<H,∗> 是 <G,∗> 的子群
定理：循环群的子群必为循环群
回顾：循环群中的每个元素都可用生成元的幂次表示
想要确定循环群的子群是否为循环群，实际上就是要看能否找到该子群的生成元。由于该子群未必有限，因此未必能够找到最大的指数，但肯定能找到最小的。
群同态
设两个群 <G,⋅>、<H,⊙> ，有映射 h:G→H, 对 ∀a,b∈G，有 h(a⋅b)=h(a)⊙h(b) 。则称 h 是从 <G,⋅> 到 <H,⊙> 的群同态。 <h(G),⊙> 是 <G,⋅> 的同态象。
性质
定理：设 h 是从群 <G,∗> 到群 <H,⊙> 的一个同态映射，则 <G,∗> 在 h 下的同态象 <h(G),⊙> 也是群。
定理：设 h 是从群 <G,∗> 到群 <H,⊙> 的一个同态映射，则 <G,∗> 在 h 下的同态象 <h(G),⊙> 是 <H,⊙> 的子群【证明略，由于上一个定理的存在，这里只需证明载体的子集关系即可】
同态核
设 h 是从群 <G,∗> 到群 <H,★> 的一个同态映射， eH 是 <H,★> 的幺元。则 Ker(h)={x∣x∈G∧h(x)=eH} 被称为【群同态映射 h 的核】，简称【 h 的同态核 】。
Ker(h) 是 G 的子集，其中的元素进行映射 h 都会指向幺元 eH （因为并没有要求 h 的映射方式，所以这里的映射可以出现多对一的情况，也就是说同态核的元素多于一个）
同态核的性质
定理：设 h 是从群 <G,∗> 到 <H,★> 的一个同态映射，Ker(h) 是 h 的同态核，则 <Ker(h),∗> 是 <G,∗> 的子群
解析：要判断子群关系，可以使用上面的判定定理。这里采用判定定理1
定理：设 <G,∗> 是以 g∈G 为生成元的循环群
(a) 若 G 是无限集，则 <G,∗> 与 <I,+> 同构；
(b) 若 G 是有限集，且 ∣G∣=k，则 <G,∗> 与 <Nk,+k> 同构
