彻底搞懂 - 二分查找

2020年11月15日 00:02

我们假设只有 10 个订单，订单金额分别是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。现在需要找到点单金额为19的订单，查找过程如下图：看懂了上面这个例子，总结一下什么是二分查找：二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。

根据上面的描述，我们来是实现一下二分查找：

public int bsearch(int[] a,int n, int target) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while (low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if(a[mid] < target) {
      low = mid + 1;
    } else if (a[mid] > target) {
      high = mid - 1;
    } else {
      return mid;
    }
  }
  return -1;
}
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这里有容易出错的3个地方：

循环退出条件： 注意是 low<=high，而不是 low<high。
mid 的取值： 实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。 3.low 和 high 的更新： low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3]不等于 value，就会导致一直循环不退出。

四种二分查找的变形：

查找第一个值等于给定值的元素

public int bsearch(int[] a,int n,int target) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while(low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if(a[mid] < target) {
      low = mid + 1;
    } else if(a[mid] > target) {
      high = mid - 1;
    } else {
      if(mid == 0 || (a[mid] != a[mid - 1])) return mid;
      else high = mid - 1; 
    }
  }
}
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查找最后一个值等于给定值的元素

public int bsearch(int[] a,int n,int target) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while(low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if(a[mid] < target) {
      low = mid + 1;
    } else if(a[mid] > target) {
      high = mid - 1;
    } else {
      if(mid == 0 || (a[mid] != a[mid + 1])) return mid;
      else low = mid + 1; 
    }
  }
}
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查找第一个大于等于给定值的元素

public int bsearch(int[] a,int n,int target) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while(low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if(a[mid] < target) {
      low = mid + 1;
    } else if(a[mid] >= target) {
      if(mid == 0 || (a[mid - 1] < target)) return mid;
      else high = mid - 1;
    }
  }
}
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查找最后一个小于等于给定值的元素

public int bsearch(int[] a,int n,int target) {
  int low = 0;
  int high = n - 1;
  while(low <= high) {
    int mid = low + ((high - low) >> 1);
    if(a[mid] > target) {
      high = mid - 1;
    } else {
      if((mid == high) || (a[mid + 1] > target)) return mid;
      else low = mid + 1;
    }
  }
}
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