机器怎样可以学得更好？

本系列是台湾大学资讯工程系林軒田（Hsuan-Tien Lin）教授开设的《机器学习基石》课程的梳理。重在梳理，而非详细的笔记，因此可能会略去一些细节。

该课程共16讲，分为4个部分：

1. 机器什么时候能够学习？（When Can Machines Learn？）
2. 机器为什么能够学习？（Why Can Machines Learn？）
3. 机器怎样学习？（How Can Machines Learn？）
4. 机器怎样可以学得更好？（How Can Machines Learn Better？）

本文是第4部分，对应原课程中的13-16讲。

本部分的主要内容：

• 过拟合问题，过拟合与噪声、目标函数复杂度的关系；
• 正则化，正则化与VC理论的联系；
• 验证，留一交叉验证和V-折交叉验证；
• 三个学习原则，即奥卡姆剃刀、抽样偏差和数据窥探。

1 过拟合问题

1.1 过拟合的发生

假设现在用带很小噪声的2次多项式生成了5个样本，对于这5个样本，其实用4次多项式就可以完美拟合它：

这样做可使$E_\text{in}=0$，但$E_\text{out}$却会非常大。

如果出现$E_\text{in}$很小，$E_\text{out}$很大的情况，就是出现了不好的泛化（bad generalization）。如果在训练的过程中，$E_\text{in}$越来越小，$E_\text{out}$越来越大，就称为过拟合（overfitting）。

噪声和数据规模都会影响过拟合。先来看以下两个数据集：

• 数据由10次多项式生成，有一些噪声；
• 数据由50次多项式生成，无噪声。

数据集图像如下：

如果我们用2次和10次多项式分别拟合以上两个数据集，那么在从$g_2 \in \mathcal{H}_2$到$g_{10} \in \mathcal{H}_{10}$的过程中，会发生过拟合吗？

拟合结果如下：

比较后发现，在两个数据集中，都发生了过拟合！

来看学习曲线，当$N\to \infty$时显然$\mathcal{H}_{10}$会有更小的$\overline{E_{out}}$，但$N$较小时它会有很大的泛化误差。灰色区域就是过拟合发生的区域。

其实对于由无噪声的50次多项式生成的数据，“目标函数的复杂度”本身就可以看作类似的噪声。

接下来做个更细节的实验。用

生成$N$个数据，其中$\epsilon$是独立同分布的高斯噪声，噪声水平为$\sigma^2$，$f(x)$关于复杂度水平$Q_f$是均匀分布的。也就是说，目标函数有$Q_f$和$\sigma^2$两个变量。

然后，分别固定$Q_f=20$和$\sigma^2=0.1$，还是分别用2次和10次多项式拟合数据，并用$E_\text{out}(g_{10})-E_\text{out}(g_{2})$度量过拟合水平。结果如下：

颜色偏红的区域，就是发生了过拟合。

加上去的$\sigma^2$高斯噪声可称为stochastic noise，而目标函数的次数$Q_f$也有类似噪声的影响，因此可叫deterministic noise。

如果$f\notin \mathcal{H}$，那么$f$一定有某些部分就无法被$\mathcal{H}$所捕捉到，最好的$h^*\in\mathcal{H}$与$f$的差就是deterministic noise，它的表现与随机噪声没什么不一样（与伪随机数生成器类似）。它与stochastic noise的不同之处在于，它与$\mathcal{H}$有关，且对于每个$x$，它的值是确定的：

1.2 过拟合的处理

一般来说，处理过拟合的思路有以下几种：

• 从简单的模型开始；
• 数据清洗（data cleaning），将错误的数据修正（如更正它的标签类别）；
• 数据剪枝（data pruning），删去离群点（outlier）；
• data hinting，当样本量不够时，可以对现有样本做些简单的处理，增加样本量，如在数字分类中，可以将数据微微旋转或平移而不改变它们的标签，这样就可增大样本量；
• 正则化（regularization），见下节；
• 验证（validation），见后文。

2 正则化（regularization）

2.1 正则化

正则化的思想是好比从$\mathcal{H}_{10}$“逐步回退”到$\mathcal{H}_{2}$。这个名字的由来是在早期做函数逼近（function approximation）时，有很多问题是ill-posed problems，即有很多函数都是满足问题的解，所以要加入一些限制条件。从某种意义上说，机器学习中的过拟合也是“正确的解太多”的问题。

$\mathcal{H}_{10}$中假设的一般形式为

而$\mathcal{H}_{2}$中假设的一般形式为

其实只要限制$w_3=w_4=\cdots=w_{10}=0$，就会有$\mathcal{H}_{10}=\mathcal{H}_{2}$。如果在用$\mathcal{H}_{10}$时加上这个限制，其实就是在用$\mathcal{H}_2$做机器学习。

$\mathcal{H}_2$的灵活性有限，但$\mathcal{H}_{10}$又很危险，那有没有折中一些的假设集呢？不妨把这个条件放松一些，变成$\sum\limits_{q=0}^{10}\mathbf{1}_{[w_1\ne 0]}\le 3$，记在该限制下的假设集为$\mathcal{H}_2'$，有$\mathcal{H}_{2}\subset \mathcal{H}_{2}' \subset \mathcal{H}_{10}$，即它比$\mathcal{H}_{2}$更灵活，但又没有$\mathcal{H}_{10}$那么危险。

在$\mathcal{H}_{2}'$下，求解的问题转化成了

这是个NP-hard问题，复杂度很高。不如再将它变为

记该假设集为$\mathcal{H}(C)$，它与$\mathcal{H}_2'$是有部分重叠的，并且对于$C$有软的、光滑的结构：

记在$\mathcal{H}(C)$下找到的最优解为$\mathbf{w}_\text{REG}$。

在没有正则化时，用梯度下降更新参数的方向是$-\nabla E_\text{in}(\mathbf{w})$。而在加入了正则化$\mathbf{w}^T \mathbf{w}\le C$的限制时，必须在该限制下更新，如下图：

$\mathbf{w}^T \mathbf{w}= C$的法向量（normal vector）就是$\mathbf{w}$，从图中可知，只要$-\nabla E_\text{in}(\mathbf{w})$和$\mathbf{w}$不平行，就可继续在该限制下降低$E_\text{in}(\mathbf{w})$，因此，达到最优解时，一定有

由此，问题可以转化为求解

其中$\lambda$是引入的拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）。假设已知$\lambda>0$，只需要把梯度的式子写出来，即有：

直接求解即可得

只要$\lambda>0$，$X^T X+\lambda I$就是正定矩阵，它一定可逆。

在统计学中，这通常叫岭回归（ridge regression）。

换一种视角来看，求解

就等价于求解（相当于对上式两边取积分）

$\mathbf{w}^T\mathbf{w}$可叫regularizer，整个$E_\text{in}(\mathbf{w})+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}$可叫作augmented error $E_\text{aug}(\mathbf{w})$。

这样，原本是给定$C$后解一个条件最值问题，现在转化成了一个给定$\lambda$的无条件最值问题。

可将$+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}$称为weight-decay regulariztion，因为更大的$\lambda$，就相当于让$\mathbf{w}$更短一些，也相当于$C$更小一点。

一个小细节：在做特征变换时，如果用$\Phi(\mathbf{x})=(1,x,x^2,\ldots,x^Q)$，假设$x_n \in [-1,+1]$，那么$x^q_n$会非常小，这一项本来就需要很大的$w_q$才能起到作用，如果此时再用正则化，就对高维的系数有些“过度惩罚”了，因为它本来就要比较大才行。因此，可在多项式的空间中找出一些正交的基函数（orthonormal basis function），这是一些比较特别的多项式，叫勒让德多项式（Legendre Polynomials），再用这些多项式这样做特征变换$(1,L_1(x),L_2(x),\ldots,L_Q(x))$即可。前5个勒让德多项式如下图：

2.2 正则化与VC理论

在最小化augmented error的时候，尽管它与带约束最值问题是等价的，但在计算时，其实并没有真正的将$\mathbf{w}$限制在$\mathcal{H}(C)$中。那么正则化究竟是怎么发生的？

可以从另一个角度看augmented error：

若记$\mathbf{w}^T\mathbf{w}$为$\Omega(\mathbf{w})$，它度量的是某个假设$\mathbf{w}$的复杂度。而在VC Bound中

$\Omega(\mathcal{H})$度量的是整个$\mathcal{H}$的复杂度。如果$\dfrac{\lambda}{N}\Omega(\mathbf{w})$与$\Omega(\mathcal{H})$有某种关联，$E_\text{aug}$就可以直接作为$E_\text{out}$的代理，不需要再通过做好$E_\text{in}$来做好$E_\text{out}$，而同时，又可以享受整个$\mathcal{H}$的高度灵活性。

再换个角度，原本对于整个$\mathcal{H}$有$d_\text{VC}(\mathcal{H})=\tilde{d}+1$，而现在相当于只考虑$\mathcal{H}(C)$中的假设，也就是说VC维变成了$d_\text{VC}(\mathcal{H}(C))$。可以定义一个“有效VC维”$d_\text{EFF}(\mathcal{H},\mathcal{A})$，只要$\mathcal{A}$中做了正则化，有效VC维就会比较小。

2.3 更一般的正则项

有没有更一般的正则项$\Omega(\mathbf{w})$？该如何选择呢？有以下建议：

• 与目标有关（target-dependent），如果知道目标函数的一些性质，就可以写出来，比如我们预先知道目标函数是接近于偶函数的，那就可以选取$\sum \mathbf{1}_{[q \text{ is odd}]} w^2_q$；
• 合理的（plausible），可以选平滑的或简单的，如为了稀疏性而选L1正则项$\sum\vert w_q \vert$，下文会说明；
• 友好的（friendly），即容易优化，如L2正则项$\sum w_q^2$；
• 就算选的正则项不好，也没有关系，因为可以靠$\lambda$来调节，最差也就是相当于没有加入正则项。

L1正则项如下图：

它是凸的，但不是处处可微，加入它之后，解具有稀疏性。如果在实际中需要有稀疏解，L1就会很有用。

$\lambda$要怎么选呢？可根据$E_\text{out}$的情况选出的最优$\lambda$，示例如下（加粗点为最优$\lambda$）：

从图中可以看到，噪声越大，越需要增加regularization。

但一般情况下，噪声是未知的，该如何选择合适的$\lambda$？

3 验证（Validation）

3.1 验证集

$\lambda$该如何选择？我们完全不知道$E_\text{out}$，并且也不能直接通过$E_\text{in}$做选择。如果有一个从来没被使用过的测试集就好了，这样就可以根据测试集进行选择：

并且，这样做是有泛化保证的（Hoeffding）：

但哪里有真正测试集？只能折中地从$\mathcal{D}$划分出一部分数据作为验证集$\mathcal{D}_\text{val}\subset \mathcal{D}$了，当然，也要求它是在过去从未被$\mathcal{A}_m$使用过的。

划分验证集$\mathcal{D}_\text{val}$的过程如下：

用训练集得到的$g^-_m$，也可以有泛化保证：

做验证时的一般流程如下：

可以看到，在用验证集选出最好的模型$g^-_{m^*}$后，还是要用所有的数据再训练一个最好的模型$g_{m^*}$出来，一般来说这次训练得到的$g_m^*$会由于训练数据量的更大而有更低的$E_\text{out}$，见下图：

图中最下面的虚线为$E_\text{out}$。可以看到，$K$不能过大或过小，如果$K$过小，虽然$g_m^-\approx g_m$，但$E_\text{val}$和$E_\text{out}$会差别很大，而如果$K$过大，尽管$E_\text{val}\approx E_\text{out}$，但会使$g_m^-$比$g_m$差很多。

我们真正想要做到的是

$E_\text{out}(g)\approx E_\text{out}(g^-)\approx E_\text{val}(g^-)$

第一个约等号要求$K$较小，第二个约等号要求$K$较大，因此必须选一个合适的$K$，按经验法则可选$K=\dfrac{N}{5}$。

3.2 留一交叉验证（LOOCV）

如果让$K=1$，即只留一个样本$n$作为验证集，记

但单个$e_n$无法告诉我们准确的信息，要想办法对所有可能的$E_\text{val}^{(n)}(g_n^-)$取平均。可以用留一交叉验证（Leave-One-Out Cross Validation）：

我们希望的是有$E_\text{loocv}(\mathcal{H},\mathcal{A})\approx E_\text{out}(g)$。可作证明：

由于$E_\text{loovc}(\mathcal{H},\mathcal{A})$的期望会告诉我们一些关于$E_\text{out}(g^-)$的期望的信息，因此也叫作$E_\text{out}(g)$的“几乎无偏估计”（almost unbiased estimate）。

用手写数字识别——对数字是否为1进行分类——看看效果，两个基础特征为对称性和平均强度（average intensity），对它们进行特征变换（增加特征数量），再分别用$E_\text{in}$和$E_\text{loocv}$进行参数选择（参数是变换后的特征个数），结果如下：

如果将$E_\text{out}$、$E_\text{in}$、$E_\text{loocv}$分别随特征数变化而变化的情况画出来，如图：

3.3 $V$-折交叉验证

如果有1000个点，做留一交叉验证就要计算1000次$e_n$，每次计算还要用999个样本做训练，除了少数算法（如线性回归，它有解析解），在大多数情况下会非常耗时间。另一方面，由上一节最后可看到，由于$E_\text{loocv}$是在单个点上做平均，结果会有跳动，不够稳定。因此，在实际中，loocv并不是很常用。

在实际中，更常用的是$V$折交叉验证（$V$-Fold Cross Validation），即将$\mathcal{D}$随机分为$V$等分，轮流用每一份做验证，用剩下的$V-1$份做训练，在实际中一般常取$V=10$，如下图：

这样能计算出

再用它对参数做选择：

值得注意的是，由于验证过程也是在做选择，它的结果依旧会比最后的测试结果乐观一些。因此，最后重要的是测试的结果，而非找出来的最好的验证的结果。

4 三个学习的原则

这里介绍三个学习的原则。

4.1 奥卡姆剃刀

首先是奥卡姆剃刀（Occam's Razor）。

An explanation of the data should be made as simple as possible, but no simpler.

--Albert Einsterin (?)

这句话传说是爱因斯坦所说，但没有证据。最早可追溯到奥卡姆的话：

entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem (entities must not be multiplied beyond necessity)

--William of Occam (1287-1347)

在机器学习中，这是说能拟合数据的最简单的模型往往是最合理的。

什么叫简单的模型呢？对于单个假设$h$来说，要求$\Omega(h)$较小即参数较少，对于一个模型（假设集）$\mathcal{H}$来说，要求$\Omega(\mathcal{H})$较小即它没包含太多可能的假设。这两者是相关的，比如$\vert \mathcal{H} \vert$规模是$2^\ell$，那么其实只需要$\ell$个参数就可以描述所有的$h$，因此小的$\Omega(\mathcal{H})$也就意味着小的$\Omega(h)$。

从哲学意义上说，越简单的模型，“拟合”发生的概率越小，如果真的发生了，那就说明数据中可能真的有一些比较重要的规律。

4.2 抽样偏差

第二个是要注意抽样偏差（Sampling Bias）。

如果数据的抽样过程存在偏差，那么机器学习也会产生一个有偏差的结果。

在讲解VC维时，提到过一个前提条件，就是训练数据和测试数据需要来自同一个分布。当无法满足时，经验法则是，尽可能让测试环境和训练环境尽可能匹配。

4.3 数据窥探

第三是要注意数据窥探（Data Snooping）。

如果你通过观察，发现数据比较符合某个模型，进而选用该模型，这是比较危险的，因为相当于加入了你大脑中的模型的复杂度。

在任何使用数据的过程中，其实都是间接窥探到了数据。在窥探了数据的表现后，做任何决策，都会引入“大脑”复杂度。

比如在做scaling时，不能把训练集和测试集放在一起做scaling，而只能对训练集做。

其实在机器学习的前沿研究中，也存在类似的情况。比如第一篇论文发现了$\mathcal{H}_1$会在$\mathcal{D}$上表现较好，而第二篇论文提出了$\mathcal{H}_2$，它在$\mathcal{D}$上比$\mathcal{H}_1$表现得更好（否则就不会发表），第三篇也如此……如果将所有论文看作一篇最终版的论文，那么真正的VC维其实是$d_\text{vc}(\cup_m \mathcal{H}_m)$，它会非常大，泛化会非常差。这是因为其实在每一步过程中，作者都通过阅读前人的文献而窥探了数据。

因此在做机器学习时，要审慎地处理数据。要避免用数据来做一些决策，即最好事先就将领域知识加入到模型中，而不是在观察了数据后再把一些特性加入模型中。另外，无论是在实际操作中，还是在看论文过程中，或者是在对待自己的结果时，都要时刻保持怀疑。