二分查找之「最大值极小化」相关问题及解题步骤

今天为大家总结一下「力扣」第 202 场周赛的第 3 题「两球之间的磁力」（题号：1552）。这道问题在周赛、春季团体赛中都出现过若干次，不过还是有不少朋友们觉得很难理解。我第一次接触到这个问题的时候也觉得很绕，因此今天花一点时间和大家做一个总结。

这一类问题的原形是「木棍分割」问题，大家可以在互联网上搜索一下。我们基于「力扣」第 410 题「分割数组的最大值」开始说起，其实是一样的。

例题：「力扣」第 410 题：「分割数组的最大值」

给定一个非负整数数组和一个整数 m，你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子数组。设计一个算法使得这 m 个子数组各自和的最大值最小。

题意分析

各自和的最大值最小，这句话读起来有一点点绕。我们拆分一下：

由于数组是确定的，其中一组分得多，相应地另一组分到的值就少。所以对于任意一种拆分（切成 m 段），这 m 段可以取最大值 val；
我们需要找到一种拆分，使得这个最大值 val 的值是所有分成 m 段拆分里值最小的那个；具体怎么拆，题目不用我们求，只需要我们计算出 val 的值。

关键字分析

这个题目非常关键的字眼是：非负整数数组、非空和连续。尤其是「非负整数数组」和「连续」这两个信息，请读者看完下面分析以后再来体会「连续」为什么那么重要。

解题思路的直觉来源

基于「力扣」第 69 题、第 287 题，知道二分查找的应用：可以用于查找一个有范围的整数，就能想到是不是可以使用二分查找去解决这道问题。

事实上，二分查找最典型的应用我们都见过，《幸运 52》猜价格游戏，主持人说「低了」，我们就应该往高了猜。

这种二分查找的应用大家普遍的叫法是「二分答案」，即「对答案二分」。它是相对于二分查找的最原始形式「在一个有序数组里查找一个数」而言的。

挖掘单调性

使用二分查找的一个前提是「数组具有单调性」，我们就去想想第 410 题有没有类似的单调性。「最大值最小」就提示了单调性：

如果设置「数组各自和的最大值」很大，那么必然导致分割数很小；
如果设置「数组各自和的最大值」很小，那么必然导致分割数很大。

仔细想想，这里「数组各自和的最大值」就决定了一种分割的方法。再联系一下我们刚刚向大家强调的题目的要求连续和题目中给出的输入数组的特点: 非负整数数组。

那么，我们就可以通过调整「数组各自和的最大值」来达到：使得分割数恰好为 m 的效果。这里要注意一个问题：

注意事项

如果某个 数组各自和的最大值 恰恰好使得分割数为 m ，此时不能放弃搜索，因为我们要使得这个最大值 最小化，此时还应该继续尝试缩小这个 数组各自和的最大值 ，使得分割数超过 m ，超过 m 的最后一个使得分割数为 m 的 数组各自和的最大值 就是我们要找的 最小值。

这里想不太明白的话，可以举一个具体的例子：

例如：（题目中给出的示例）输入数组为 [7, 2, 5, 10, 8] ，m = 2 。如果设置 数组各自和的最大值 为 21，那么分割是 [7, 2, 5, | 10, 8]，此时 m = 2，此时，这个值太大，尝试一点一点缩小：

设置 数组各自和的最大值 为 20，此时分割依然是 [7, 2, 5, | 10, 8]，m = 2；
设置 数组各自和的最大值 为 19，此时分割依然是 [7, 2, 5, | 10, 8]，m = 2；
设置 数组各自和的最大值 为 18，此时分割依然是 [7, 2, 5, | 10, 8]，m = 2；
设置 数组各自和的最大值 为 17，此时分割就变成了 [7, 2, 5, | 10, | 8]，这时 m = 3。

m 变成 3 之前的值 数组各自和的最大值 18 是这个问题的最小值，所以输出 18。

代码实现

说明：

以下代码实现中采用 while (left < right) 的写法表示退出循环以后 left == right 成立，这种通过「左右边界」向中间逼近，最后得到一个数的二分查找思考路径，我在「力扣」的题解区已经多次向大家介绍，并且强调了使用细节和注意事项，这里就不赘述了；
if (splits > m) 的反面是 splits <= m 此时，下一轮搜索区间是 [left, mid] ，这个时候我们没有排除掉 mid 这个值，符合我们上面的逻辑：当分割数恰好等于 m 的时候，尝试缩小 数组各自和的最大值。

public class Solution {

    public int splitArray(int[] nums, int m) {
        int max = 0;
        int sum = 0;

        // 计算「子数组各自的和的最大值」的上下界
        for (int num : nums) {
            max = Math.max(max, num);
            sum += num;
        }

        // 使用「二分查找」确定一个恰当的「子数组各自的和的最大值」，
        // 使得它对应的「子数组的分割数」恰好等于 m
        int left = max;
        int right = sum;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;

            int splits = split(nums, mid);
            if (splits > m) {
                // 如果分割数太多，说明「子数组各自的和的最大值」太小，此时需要将「子数组各自的和的最大值」调大
                // 下一轮搜索的区间是 [mid + 1, right]
                left = mid + 1;
            } else {
                // 下一轮搜索的区间是上一轮的反面区间 [left, mid]
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }

    /***
     *
     * @param nums 原始数组
     * @param maxIntervalSum 子数组各自的和的最大值
     * @return 满足不超过「子数组各自的和的最大值」的分割数
     */
    private int split(int[] nums, int maxIntervalSum) {
        // 至少是一个分割
        int splits = 1;
        // 当前区间的和
        int curIntervalSum = 0;
        for (int num : nums) {
            // 尝试加上当前遍历的这个数，如果加上去超过了「子数组各自的和的最大值」，就不加这个数，另起炉灶
            if (curIntervalSum + num > maxIntervalSum) {
                curIntervalSum = 0;
                splits++;
            }
            curIntervalSum += num;
        }
        return splits;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = new int[]{7, 2, 5, 10, 8};
        int m = 2;
        Solution solution = new Solution();
        int res = solution.splitArray(nums, m);
        System.out.println(res);
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度： $O(N \log \sum nums)$ ，这里 $N$ 表示输入数组的长度， $\sum nums$ 表示输入数组的和，代码在 $[\max(nums), \sum nums]$ 区间里使用二分查找找到目标元素，而每一次判断分支需要遍历一遍数组，时间复杂度为 $O(N)$ ；
空间复杂度： $O(1)$ ，只使用到常数个临时变量。

练习

这些问题都如出一辙，请大家特别留意题目中出现的关键字「非负整数」、分割「连续」，思考清楚设计算法的关键步骤和原因，相信以后遇到类似的问题就能轻松应对。

「力扣」第 875 题：爱吃香蕉的珂珂（中等）
LCP 12. 小张刷题计划（中等）
「力扣」第 1482 题：制作 m 束花所需的最少天数（中等）
「力扣」第 1011 题：在 D 天内送达包裹的能力（中等）
「力扣」第 1552 题：两球之间的磁力（中等）

总结

这道题让我们「查找一个有范围的整数」，以后遇到类似问题，要想到可以尝试使用「二分」；
遇到类似使「最大值」最小化，这样的题目描述，可以好好跟自己做过的这些问题进行比较，看看能不能找到关联；
在代码层面上，这些问题的特点都是：在二分查找的判别函数里，需要遍历数组一次。

今天的分享就到这里了，感谢大家的收看和支持！