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二分查找之「最大值极小化」相关问题及解题步骤

今天为大家总结一下「力扣」第 202 场周赛的第 3 题「两球之间的磁力」(题号:1552)。这道问题在周赛、春季团体赛中都出现过若干次,不过还是有不少朋友们觉得很难理解。我第一次接触到这个问题的时候也觉得很绕,因此今天花一点时间和大家做一个总结。

这一类问题的原形是「木棍分割」问题,大家可以在互联网上搜索一下。我们基于「力扣」第 410 题「分割数组的最大值」开始说起,其实是一样的。

例题:「力扣」第 410 题:「分割数组的最大值」

给定一个非负整数数组和一个整数 m,你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子数组。设计一个算法使得这 m 个子数组各自和的最大值最小。

题意分析

各自和的最大值最小,这句话读起来有一点点绕。我们拆分一下:

  • 由于数组是确定的,其中一组分得多,相应地另一组分到的值就少。所以对于任意一种拆分(切成 m 段),这 m 段可以取最大值 val

  • 我们需要找到一种拆分,使得这个最大值 val 的值是所有分成 m 段拆分里值最小的那个;具体怎么拆,题目不用我们求,只需要我们计算出 val 的值

关键字分析

这个题目非常关键的字眼是:非负整数数组非空连续。尤其是「非负整数数组」和「连续」这两个信息,请读者看完下面分析以后再来体会「连续」为什么那么重要。

解题思路的直觉来源

基于「力扣」第 69 题、第 287 题,知道二分查找的应用:可以用于查找一个有范围的 整数,就能想到是不是可以使用二分查找去解决这道问题。

事实上,二分查找最典型的应用我们都见过,《幸运 52》猜价格游戏,主持人说「低了」,我们就应该往高了猜。

这种二分查找的应用大家普遍的叫法是「二分答案」,即「对答案二分」。它是相对于二分查找的最原始形式「在一个有序数组里查找一个数」而言的。

挖掘单调性

使用二分查找的一个前提是「数组具有单调性」,我们就去想想第 410 题有没有类似的单调性。「最大值最小」就提示了单调性:

  • 如果设置「数组各自和的最大值」很大,那么必然导致分割数很小;
  • 如果设置「数组各自和的最大值」很小,那么必然导致分割数很大。

仔细想想,这里「数组各自和的最大值」就决定了一种分割的方法。再联系一下我们刚刚向大家强调的题目的要求 连续 和题目中给出的输入数组的特点: 非负整数数组

那么,我们就可以通过调整「数组各自和的最大值」来达到:使得分割数恰好为 m 的效果。这里要注意一个问题:

注意事项

如果某个 数组各自和的最大值 恰恰好使得分割数为 m ,此时不能放弃搜索,因为我们要使得这个最大值 最小化,此时还应该继续尝试缩小这个 数组各自和的最大值 ,使得分割数超过 m ,超过 m 的最后一个使得分割数为 m数组各自和的最大值 就是我们要找的 最小值

这里想不太明白的话,可以举一个具体的例子:

例如:(题目中给出的示例)输入数组为 [7, 2, 5, 10, 8]m = 2 。如果设置 数组各自和的最大值21,那么分割是 [7, 2, 5, | 10, 8],此时 m = 2,此时,这个值太大,尝试一点一点缩小:

  • 设置 数组各自和的最大值20,此时分割依然是 [7, 2, 5, | 10, 8]m = 2
  • 设置 数组各自和的最大值19,此时分割依然是 [7, 2, 5, | 10, 8]m = 2
  • 设置 数组各自和的最大值18,此时分割依然是 [7, 2, 5, | 10, 8]m = 2
  • 设置 数组各自和的最大值17,此时分割就变成了 [7, 2, 5, | 10, | 8],这时 m = 3

m 变成 3 之前的值 数组各自和的最大值 18 是这个问题的最小值,所以输出 18

代码实现

说明:

  • 以下代码实现中采用 while (left < right) 的写法表示退出循环以后 left == right 成立,这种通过「左右边界」向中间逼近,最后得到一个数的二分查找思考路径,我在「力扣」的题解区已经多次向大家介绍,并且强调了使用细节和注意事项,这里就不赘述了;
  • if (splits > m) 的反面是 splits <= m 此时,下一轮搜索区间是 [left, mid] ,这个时候我们没有排除掉 mid 这个值,符合我们上面的逻辑:当分割数恰好等于 m 的时候,尝试缩小 数组各自和的最大值
public class Solution {

    public int splitArray(int[] nums, int m) {
        int max = 0;
        int sum = 0;

        // 计算「子数组各自的和的最大值」的上下界
        for (int num : nums) {
            max = Math.max(max, num);
            sum += num;
        }

        // 使用「二分查找」确定一个恰当的「子数组各自的和的最大值」,
        // 使得它对应的「子数组的分割数」恰好等于 m
        int left = max;
        int right = sum;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;

            int splits = split(nums, mid);
            if (splits > m) {
                // 如果分割数太多,说明「子数组各自的和的最大值」太小,此时需要将「子数组各自的和的最大值」调大
                // 下一轮搜索的区间是 [mid + 1, right]
                left = mid + 1;
            } else {
                // 下一轮搜索的区间是上一轮的反面区间 [left, mid]
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }

    /***
     *
     * @param nums 原始数组
     * @param maxIntervalSum 子数组各自的和的最大值
     * @return 满足不超过「子数组各自的和的最大值」的分割数
     */
    private int split(int[] nums, int maxIntervalSum) {
        // 至少是一个分割
        int splits = 1;
        // 当前区间的和
        int curIntervalSum = 0;
        for (int num : nums) {
            // 尝试加上当前遍历的这个数,如果加上去超过了「子数组各自的和的最大值」,就不加这个数,另起炉灶
            if (curIntervalSum + num > maxIntervalSum) {
                curIntervalSum = 0;
                splits++;
            }
            curIntervalSum += num;
        }
        return splits;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = new int[]{7, 2, 5, 10, 8};
        int m = 2;
        Solution solution = new Solution();
        int res = solution.splitArray(nums, m);
        System.out.println(res);
    }
}
复制代码

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(Nlognums)O(N \log \sum nums),这里 NN 表示输入数组的长度,nums\sum nums 表示输入数组的和,代码在 [max(nums),nums][\max(nums), \sum nums] 区间里使用二分查找找到目标元素,而每一次判断分支需要遍历一遍数组,时间复杂度为 O(N)O(N)
  • 空间复杂度:O(1)O(1) ,只使用到常数个临时变量。

练习

这些问题都如出一辙,请大家特别留意题目中出现的关键字「非负整数」、分割「连续」,思考清楚设计算法的关键步骤和原因,相信以后遇到类似的问题就能轻松应对。

  • 「力扣」第 875 题:爱吃香蕉的珂珂(中等)
  • LCP 12. 小张刷题计划(中等)
  • 「力扣」第 1482 题:制作 m 束花所需的最少天数(中等)
  • 「力扣」第 1011 题:在 D 天内送达包裹的能力(中等)
  • 「力扣」第 1552 题:两球之间的磁力(中等)

总结

  • 这道题让我们「查找一个有范围的整数」,以后遇到类似问题,要想到可以尝试使用「二分」;
  • 遇到类似使「最大值」最小化,这样的题目描述,可以好好跟自己做过的这些问题进行比较,看看能不能找到关联;
  • 在代码层面上,这些问题的特点都是:在二分查找的判别函数里,需要遍历数组一次

今天的分享就到这里了,感谢大家的收看和支持!

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